Można wykorzystywać Wzory Vieta dla wielomianów :).... Question from @iClutchNoobs

October 2018 1 12 Report

Można wykorzystywać Wzory Vieta dla wielomianów :)

zadanie 2.95

mamy wielomian trzeciego stopnia otrzech pierwiastach, więc zachodzi:

$x_1 + x_2+ x_3 = -\frac{-2}{1} = 2\\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{1}{1} = 1\\ x_1x_2x_3 = (-1)^3\cdot\frac{1}{1} =-1$

$f(x) = (x - x_1x_2)(x - x_2x_3)(x - x_3x_1) =\\ =x^3 - x^2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1) + x(x_1^2x_2x_3 + x_2^2x_1x_3 + x_3^2x_1x_2) + \\ -x_1x_2x_3 = x^3 - x^2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1) + \\ +x\cdot x_1x_2x_3(x_1 + x_2 + x_3) -x_1x_2x_3 = x^3 + x^2 - 2x + 1$

zadanie 2.96

mamy wielomian trzeciego stopnia otrzech pierwiastach, więc zachodzi:

$x_1 + x_2+ x_3 = -\frac{-1}{1} = 1\\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{0}{1} = 0\\ x_1x_2x_3 = (-1)^3\cdot\frac{-1}{1} = 1$

$f(x - (x_1+x_2))(x - (x_1 + x_3))(x - (x_2 + x_3)) = \\ =x^3 - x^2((x_1 + x_2) + (x_1 + x_3) + (x_2 + x_3)) + \\ + x((x_1 + x_2)(x_1 + x_3) + (x_1 + x_2)(x_2 + x_3) + \\ +(x_3 + x_2)(x_1 + x_3)) - (x_1 + x_2)(x_1 + x_3)(x_2 + x_3) = \\ = x^3 - 2x^2(x_1 + x_2 + x_3) + x(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 +\\ + 2(x_1x_2 + x_1x_3+x_2x_3)) - (2x_1x_2x_3 + x_1^2(x_2 + x_3) +\\+ x_2^2(x_1 + x_3) + x_3^2(x_1 + x_2)) =$

$= x^3 - 2x^2(x_1 + x_2 + x_3) + x((x_1 + x_2 + x_3)^2 +\\-2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1) +2(x_1x_2 + x_1x_3+x_2x_3)) + \\ - (2x_1x_2x_3 + x_1(x_1x_2 + x_1x_3) + x_2(x_1x_2 + x_3x_2) +\\ + x_3(x_3x_1 + x_2x_3)) = \\ = x^3 - 2x^2(x_1 + x_2 + x_3) + x(x_1 + x_2 + x_3)^2 + \\ - (2x_1x_2x_3 - x_1x_2x_3 - x_2x_1x_3 - x_3x_1x_2) = \\ = x^3 - 2x^2(x_1 + x_2 + x_3) + x(x_1 + x_2 + x_3)^2 + x_3x_1x_2 =\\ = x^3 - 2x^2 + x + 1$

zadanie 2.97

po pierwsze musimy mieć trzy pierwiastki, wiadomo, że jednym na pewno jest 0:

$x^3 - 2(m+1)x^2 + (2m^2 + 3m + 1)x = 0\\ x(x^2 - 2(m+1)x + (2m^2 + 3m + 1)) = 0$

czyli równanie kwadratowe musi mieć dwa pierwiastki:

$\Delta \geq 0\\ (2(m + 1))^2 - 4(2m^2 + 3m + 1) \geq 0\\ 4(m^2 + 2m + 1) - 4(2m^2 + 3m + 1) \geq 0\\ m^2 + 2m + 1 - 2m^2 - 3m - 1 \geq 0\\ -m^2 - m \geq 0\\ m(m + 1) \leq 0\\ m \in \left<-1, 0\right>$

i muszą być one dodatnie:

$\begin{cases} x_1x_2> 0\\x_1+x_2 > 0 \end{cases}\\ \begin{cases} 2m^2 + 3m + 1> 0\\2(m + 1) > 0 \end{cases}\\ \begin{cases} (2m + 1)(m + 1)> 0\\m + 1 > 0 \end{cases}\\ \begin{cases} \left(m + \frac{1}{2}\right)(m + 1)> 0\\m > -1 \end{cases}\\ \begin{cases} m \in \left(-\infty, -1\right)\cup\left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)\\m \in \left(-1, +\inftyright) \end{cases}\\ m \in \left(\frac{1}{2}, +\inftyright)$

ostatecznie:

$m \in\left(-\frac{1}{2}, 0\right>$

zadanie 2.98

Jest to rownanie dwukwadratowe. Każde dodatnie rozwiązanie równania:

$t^2+(m - 3)t + m^2 = 0$

da nam dwa różne rozwiązania:

$x^4+(m - 3)x^2 + m^2 = 0$

czyli równanie z t musi mieć dwa różne rozwiązania:

$\Delta > 0\\ (m - 3)^2 - 4m^2 > 0\\ (m - 3 - 2m)(m - 3 + 2m) > 0\\ (m + 3)(m - 1) <0\\ m \in \left(-3, 1\right)$

i muszą one być dodatnie:

$\begin{cases} t_1t_2 > 0\\ t_1 + t_2 > 0 \end{cases}\\ \begin{cases} m^2 > 0\\ -m + 3 > 0 \end{cases}\\ \begin{cases} m \neq 0\\m < 3 \end{cases}\\ m \in \left(-\infty, 0\right)\cup\left(0, 3\right)$