Question

Metodą indukcji matematycznej, wykaż, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równośc :

a) 1+2+2 ²+2³+...+2^n = (2^n+1) -1

Answer 1

 

1 +2 + 2² + 2³ +  ... + 2^n  = 2^(n +1)  - 1

 

1⁰  dla n = 1   równośc jest prawdziwa, bo

1 + 2¹ = 3 = 2^(1+1) - 1 = 2² - 1 - 4 - 1 = 3

2⁰ Załóżmy, że równość jest prawdziwa dla liczby naturalnej  n  > 1, czyli

1 + 2¹ + 2² + 2³ +   ... + 2^n = 2^(n +1) - 1

-----------------------------------------------------

Sprawdzimy prawdziwość implikacji T(n) => T(n +1) dla każdej liczby n > 1

Mamy

[1 + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2^n]  + 2^(n +1) = 2^(n +1) - 1 + 2^(n +1) =

= 2* 2 ^(n +1)  -1 = 2^{(n +1) +1]  - 1

Wykazaliśmy zatem , ze dla kadej liczby naturalnej n > 1 prawdziwa jest

implikacja T(n) => T( n +1).gdyż z prawdziwości jej poprzednika wynika prawdziwość następnika.

Ponieważ założenia 1⁰  i  2⁰ zasady indukcji matematycznej są dla danej

równości spełnione, więć ta równość jest prawdziwa dla dowolnej liczby

n > 1. cnu.

===========

 

Answer 2

UWAGA:  błędny zapis prawej strony!

 

Powinno być:

1 + 2 + 2² + 2³ +...+ 2^n  =  2^(n+1) - 1

 

(ewentualnie jeszcze dokładniej: ... =  (2^(n+1)) - 1

 

(Przy   (2^n+1)  równość jest nieprawdziwa!)

 

__________________________

 

A oto rozwiązanie:

 

 

I  Dla n = 1:

 

1 + 2  =  2^(1+1) - 1

3  =  3

--  równość jest prawdziwa.

 

 

II   [n  ===>  (n+1)]

(jeśli równość jest prawdziwa dla  n --  to będzie prawdziwa dla  n+1)

 

Podstawiamy  k zamiast  n:

 

[A]

1 + 2 + 2² + 2³ +...+ 2^k = 2^(k+1) - 1

 

Podstawiamy  (k + 1) zamiast  n:

 

[B]

1 + 2 + 2² + 2³ +...+ 2^k + 2^(k+1) = 2^((k+1)+1)  -  1

 

 

Ponieważ zakładamy prawdziwość równości dla  n = k  [A],  więc wykorzystamy równość  [A] podstawiając  w  [B] zamiast wszystkich wyrazów z wyjątkiem ostatniego -- prawą stronę  [A]:

 

[C]

2^(k+1) - 1  + 2^(k+1)  = 2^((k+1)+1)  -  1

 

Ponieważ

 

2^m + 2^m  =  2 * 2^m  =  2^(m+1),

(-- dodawanie jednakowych składników,  a potem mnożenie potęg o jednakowych podstawach)

 

więc zastosujmy to przy  m = k+1 w[C]:

 

[D]

2^((k+1)+1)  -  1  = 2^((k+1)+1)  -  1

 

czyli ostatecznie  (już nawet bez wykonywania dalszych obliczeń i uproszczeń)

 

L  =  P

 

a więc

 

III   Równość jest prawdziwa dla dowolnego  n.