Me podrían ayudar con la demostración? o por lo menos una guía.... Question from @nathalyborja

November 2018 1 75 Report

Me podrían ayudar con la demostración?
o por lo menos una guía

seeker17 Bueno, si quieres una demostración media decente...deberías demostrar algunas identidades extras...para justificar cada paso.. de igual manera que para la identidades trignométricas habituales...para demostrar que,

$\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1$

donde claramente...sabemos que ésta fórmula se produce del teorema de pitágoras...aplicada a una circunferencia de radio 1...donde la coordenada en equis en cualquier punto en especial el primer cuadrante está dado por cos(x) y lla coordenada en el eje ye, es sin(x), entonces por el teorema de pitágoras fácilmente deduces esa identidad...ahora para las hiperbólicas hacemos casi lo mismo, pero ahora vamos a suponer una HIPÉRBOLA RECTANGULAR O EQUILÁTERA...te recomiendo que busques en la geometría de calvache...de donde sabemos que, su fórmula será,

$x^{2}-y^{2}=1$

lo siguiente que también te recomiendo aprendas a demostrar..entonces vamos a dar por sentado que,

$\displaystyle \cosh(x)=\frac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}\hspace{6mm}\sinh(x)=\frac{e^{\alpha}-e^{-\alpha}}{2}$

éstas nacen, de las asíntotas que presenta la hipérbola dada por

$\displaystyle y=\frac{e^{\alpha}}{2}\hspace{5mm}y=\frac{e^{-\alpha}}{2}$

de donde se deduce de igual manera que,

$x=\cosh(\alpha)\\
y=\sinh(\alpha)
$

ahora, te dejo de tarea que demuestres que,

$\cosh(\alpha)+\sinh(\alpha)=e^{\alpha}\\\cosh(\alpha)-\sinh(\alpha)=e^{-\alpha}$

usando ésta información que sabes...de aquí ya podemos demostrar si multiplicamos la primera de éstas ecuaciones por la segunda así,

$\cosh(\alpha)+\sinh(\alpha)=e^{\alpha}\\(\cosh(\alpha)-\sinh(\alpha))[\cosh(\alpha)+\sinh(\alpha)]=e^{-\alpha}e^{\alpha}\\\cosh^{2}(\alpha)-\sin^{2}(\alpha)=e^{0}=1$

y eso es lo que queríamos demostrar... ahora si podemos usarla con todo el derecho, plenitud y felicidad...

Ahora vamos a demostrar una muy importante, propiedad...que es la suma de ángulos para el coseno hiperbólico...es fácil....por ejemplo, sabemos que,

$\displaystyle\cosh(\alpha)=\frac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}$

vamos a suponer que, $\alpha=\beta+\beta=2\beta$ que es el ángulo que nos interesa saber, entonces,

$\displaystyle\cosh(2\beta)=\frac{e^{2\beta}+e^{-2\beta}}{2}=\frac{e^{\beta+\beta}+e^{-(\beta+\beta)}}{2}=\frac{e^{\beta}e^{\beta}+e^{-\beta}e^{-\beta}}{2}$

de aquí sabemos que,

$\displaystyle e^{\beta}=\cosh(\beta)+\sinh(\beta) \\e^{-\beta}=\cosh(\beta)-\sinh(\beta)$

la segunda de éstas dos igualdades...es fácil de demostrar, puesto que la función seno es impar, entonces seno hiperbolico tamibén es impar por lo tanto , $f(-x)=-f(x)$ , y como el coseno es una función par, entonces el coseno hiperbolico tambien lo es, entonces $f(-x)=f(x)$ , entonces,

$\displaystyle\sinh(-\beta)=\frac{e^{(-\beta)}-e^{-(-\beta)}}{2}=\frac{e^{(-\beta)}-e^{\beta}}{2}=-\frac{e^{\beta}-e^{-\beta}}{2}=-\sinh(\beta)$

bueno, sigamos en lo que estábamos,

$\cosh(2\beta)=\frac{e^{\beta}e^{\beta}+e^{-\beta}e^{-\beta}}{2}=\\\frac{(\cosh(\beta)+\sinh(\beta))(\cosh(\beta)+\sinh(\beta))+(\cosh(\beta)-\sinh(\beta))e^{-\beta}}{2}=\\...=\frac{(\cosh(\beta)+\sinh(\beta))^{2}+(\cosh(\beta)-\sinh(\beta))^{2}}{2}=...\\...=\frac{cosh^{2}(\beta)+2\cosh(\beta)\sinh(\beta)+\sinh^{2}(\beta)+\cosh^{2}(\beta)-2\cosh(\beta)\sinh(\beta)+\sinh^{2}(\beta)}{2}=...\\...=\frac{2\cosh^{2}(\beta)+2\sinh^{2}(\beta)}{2}=\frac{2(\cosh^{2}+\sinh^{2}(x))}{2}=\cosh^{2}(\beta)+\sinh^{2}(\beta)$

disculpa que la letra se reduzca..pero no entraba todo en la letra más grande...bien, ahora si con las dos demostraciones que hemos hecho podemos jugar ...con ellas...por ejemplo...

$\displaystyle\cos(2\beta)=\cosh^{2}(\beta)+\sinh^{2}(\beta) \\ \cos(2\beta)=\cosh^{2}(\beta)+(\cosh^{2}(\beta)-1) \\ \cos(2\beta)=2\cosh^{2}(\beta)-1 \\ 2\cosh^{2}(\beta)=\frac{}{}\cosh(2\beta)+1\\\\\cosh^{2}(\beta)=\frac{\cosh(2\beta)+1}{2}=\frac{1+\cosh(2\beta)}{2}_{\blacksquare}$

listo. ya demostrada las identidades anteriores...podemos usarlas con todo gusto...sin que nos recriminen de donde rayos te inventaste eso¡...no es una demostración muy formal...pero por el momento te servirá...y funciona para ,

$\displaystyle\cosh^{2}(\beta)=\frac{1+\cosh(2\beta)}{2}\hspace{6mm}\forall\beta/\beta\in\Re$

y eso sería todo...

tenía éste PDF medio simpático de mi colegio, con el cual están las demostraciones poco formales de algunas identidades...pero contiene el manejo apropiado de las funciones y las razones trignométricas..que es lo más importante..te lo dejaré abajito

Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas

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seeker17 Se que ubieras preferido una guía elaborada en PDF, lo siento estoy algo cansado pero si la necesitas me avisas y la preparo para que aprendas el tema muy fácilmente

nathalyborja muchísimas gracias, me has ayudado a comprobar lo que hice♥

seeker17 Me alegra¡...:3