Matura 2013 - Matematyka - poziom podstawowyArkusz w załączniku - odpowiedzi do wszystkich zadań.... Question from @userX

userX @userX

November 2018 1 16 Report

Matura 2013 - Matematyka - poziom podstawowy

Arkusz w załączniku - odpowiedzi do wszystkich zadań

Roma

ZADANIA ZAMKNIĘTE

Zad. 1

Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych
spełniających nierówność |x + 4| < 5

Rysunki w załączniku

Rozwiązanie:

|x + 4| < 5

|x - (- 4)| < 5

Zatem szukamy liczb x, których odległość od liczby (-4) jest mniejsza od 5, czyli odp. A

Można to zrobić też rachunkowo:

|x + 4| < 5

x + 4 < 5 i x + 4 > - 5

x < 5 - 4 i x > - 5 - 4

x < 1 i x > - 9

czyli

- 9 < x < 1

Zatem: x ∈ (- 9; 1)

Odp. A [x ∈ (- 9; 1)]

Zad. 2

Liczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. Stąd wynika, że a jest równe

A. 103% liczby b

B. 125% liczby b

C. 150% liczby b

D. 153% liczby b

Rozwiązanie:

$a, b > 0 \\\ 12 \% \cdot a = 15 \% \cdot b \ /:12\% \\\ a = 1,25 \cdot b\\\ a = 125 \% \cdot b$

Odp. B [125% liczby b]

Zad. 3

Liczba log 100 - log₂ 8 jest równa

A. - 2

B. - 1

C. 0

D. 1

Rozwiązanie:

$log \ 100 - log_2 \ 8 = log \ 10^2 - log_2 \ 2^3 = 2 \cdot log \ 10 - 3 \cdot log_2 \ 2 = \\\ =2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 =2-3=-1$

Odp. B [ - 1 ]

Zad. 4
Rozwiązaniem układu równań

$\left \{ {{5x+3y=3} \atop {8x-6y=48}} \right.$

jest para liczb

A. x = - 3 i y = 4

B. x = - 3 i y = 6

C. x = 3 i y = - 4

D. x = 9 i y = 4

Rozwiązanie:

$\left \{ {{5x+3y=3 \ / \cdot 2} \atop {8x-6y=48}} \right. \\\\ \underline{\left \{ {{10x+6y=6} \atop {8x-6y=48}} \right.} \\\\ 18x=54 /:18 \\\ x = 3 \\\ 5x + 3y = 3 \\\ 5 \cdot 3 + 3y = 3 \\\ 15 + 3y = 3 \\\ 3y = 3-15 \\\ 3y = - 12 \ / :3 \\\ y = - 4 \\\\ \left \{ {{x=3} \atop {y = -4}} \right.$

Zatem x = 3 i y = - 4

Można oczywiście sprawdzać po kolei, która para liczb spełnia układ równań:

A. x = - 3 i y = 4

5 · (-3) + 3 · 4 = - 15 + 12 = - 3 ≠ 3

B. x = - 3 i y = 6

5 · (-3) + 3 · 6 = - 15 + 18 = 3

8 · (-3) - 6 · 6 = - 24 - 36 = - 60 ≠ 48

C. x = 3 i y = - 4

5 · 3 + 3 · (- 4) = 15 - 12 = 3

8 · 3 - 6 · (- 4) = 24 + 24 = 48

D. x = 9 i y = 4

5 · 9 + 3 · 4 = 45 + 12 = 57≠ 3

Odp. C [x = 3 i y = - 4]

Zad. 5

Punkt A = (0,1) leży na wykresie funkcji liniowej f(x) = (m-2)x + m - 3. Stąd wynika, że

A. m = 1

B. m = 2

C. m = 3

D. m = 4

Rozwiązanie:

A = (0,1) ∈ f(x) = (m-2)x + m - 3

(m-2) \cdot 0 + m - 3 = 1

m - 3 = 1

m = 1+3

m = 4

Odp. D [m = 4]

Zad. 6

Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = - 3(x - 2)² + 4 jest punkt o współrzędnych

A. (- 2, - 4)

B. (- 2, 4)

C. (2, - 4)

D. (2, 4)

Rozwiązanie:

Równanie paraboli w postaci kanonicznej:y = a(x - p)² + q

gdzie p i q są to współrzędne wierzchołka paraboli W = (p; q)

y = - 3(x - 2)² + 4

p = 2 i q = 4

Zatem:

W = (2; 4)

Odp. D [(2, 4)]

Zad. 7
Dla każdej liczby rzeczywistej x, wyrażenie 4x² - 12x + 9 jest równe

A. (4x + 3)(x + 3)

B. (2x - 3)(2x + 3)

C. (2x - 3)(2x - 3)

D. (x - 3)(4x - 3)

Rozwiązanie:

4x² - 12x + 9 = (2x)² - 2 · 2x · 3 + 3² = (2x - 3)² = (2x - 3)(2x - 3)

Odp. C [(2x - 3)(2x - 3)]

Zad. 8

Prosta o równaniu

$y = \frac{2}{m}x+1$

jest prostopadła do prostej o równaniu

$y = -\frac{3}{2}x-1$

Stąd wynika, że

A. m = - 3

B. m = ²/₃

C. m = ³/₂

D. m = 3

Rozwiązanie:

Warunek prostopadłości prostych: Proste w układzie współrzędnych są prostopadłe wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi - 1.

$\frac{2}{m} \cdot ( -\frac{3}{2})= -1 \\\ -\frac{3}{m}= -1 \ / \cdot m \\\ - m = - 3 \ / \cdot (-1) \\\ m = 3$

Odp. D [m = 3]

Zad. 9

Na rysunku (patrz załącznik) przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. Jakie znaki mają współczynniki a i b ?

A. a < 0 i b < 0

B. a < 0 i b > 0

C. a > 0 i b < 0

D. a > 0 i b > 0

Rozwiązanie:

Funkcja liniowa y = ax + b jest malejąca, gdy a < 0 i przecina oś OY w punkcie (0, b).

Z rysunku widać, że funkcja jest malejąca, czyli a < 0 i przecina oś OY w punkcie, którego druga współrzędna jest ujemna, czyli b < 0.

Zatem a < 0 i b < 0

Odp. A [a < 0 i b < 0]

Zad. 10

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność

$\frac{x}{2} \leq \frac{2x}{3} + \frac{1}{4}$

A. - 2

B. - 1

C. 0

D. 1

Rozwiązanie:

x ∈ C

$\frac{x}{2} \leq \frac{2x}{3} + \frac{1}{4} \ / \cdot 12 \\\ 6x \leq 8x + 3 \\\ 6x - 8x \leq 3 \\\ -2x \leq 3 \ / :(-2) \\\ x \geq -\frac{3}{2}$

Zatem najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą daną nierówność jest liczba: - 1

Odp. B [- 1]

Zad. 11

Na rysunku 1 (patrz załącznik) przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x) określonej dla x ∈ <7, 4>. Rysunek 2 (patrz załącznik) przedstawia wykres funkcji

A. y = f(x + 2)

B. y = f(x) - 2

C. y = f(x - 2)

D. y = f(x) + 2

Rozwiązanie:

Na podstawie rysunków wiem, że wykres funkcji f(x) został przesunięty o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX, zatem rys. 2 przedstawia funkcję: y = f(x - 2)

Odp. C [y = f(x - 2)]

Zad. 12

Ciąg (27, 18, x + 5) jest geometryczny. Wtedy

A. x = 4

B. x = 5

C. x = 7

D. x = 9

Rozwiązanie:

Tw. Jeżli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, to dla n > 1 zachodzi równość:

$a^2_n = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$

Zatem:

$18^2 = 27 \cdot (x + 5) \\\ 324 = 27 \cdot (x + 5) \ /:27 \\\ x + 5 = 12 \\\ x = 12 - 5 \\\ x = 7$

Odp. C [x = 7]

Zad. 13

Ciąg (an) określony dla n ≥ 1 jest arytmetyczny oraz a₃ = 10 i a₄ = 14. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. a₁ = - 2

B. a₁ = 2

C. a₁ = 6

D. a₁ = 12

Rozwiązanie:

n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

gdzie r to różnica ciągu arytmetycznego

r = a₄ - a₃ = 14 - 10 = 4

a₃ = a₁ + 2r

a₁ + 2 · 4 = 10

a₁ + 8 = 10

a₁ = 10 - 8

a₁ = 2

Odp. B [a₁ = 2]

Zad. 14

Kąt α jest ostry i $sin \ \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Wartość cos² α - 2 jest równa

$A. \ -\frac{7}{4} \\\\ B. \ -\frac{1}{4} \\\\ C. \ \frac{1}{2} \\\\ D. \ \frac{\qgrt{3}}{2}$

Rozwiązanie:

Tożsamość trygonometryczna:

sin² α + cos² α = 1

cos² α = 1 - sin² α

$cos^2 \ \alpha - 2 = 1 - sin^2 \ \alpha - 2 = -1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = -\frac{4}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{7}{4}$

Odp. A $[-\frac{7}{4}]$

Zad. 15

Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50° (tak jak na rysunku - patrz załacznik). Miara kąta α jest równa

A. 25°

B. 30°

C. 40°

D. 50°

Rozwiązanie:

|∢DMB| = α

|∢DSB| = |∢ASC| = 50°, bo kąty DSB i ASC to kąty wierzchołkowe, a takie kąty mają równe miary.

Kąt DSB to kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany DMB, a jeżeli kąt wpisany i środkowy oparte są na tym samym łuku, to miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego. Zatem:

|∢DMB| = ½ · |∢DSB|

α = ½ · 50°

α = 25°

Odp. A [25°]

Zad. 16

Liczba rzeczywistych rozwiązań równania (x + 1)(x + 2)(x² + 3) = 0 jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Rozwiązanie:

(x + 1)(x + 2)(x² + 3) = 0

x + 1 = 0 lub x + 2 = 0 lub x² + 3 = 0

x = - 1 lub x = - 2 lub x² = - 3 (sprzeczność - brak rozwiązań)

Zatem równanie ma 2 rozwiązania.

Odp. C [2]

Zad. 17
Punkty A = (-1, 2) i B = (5, - 2) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód tego rombu jest równy

A. √13

B. 13

C. 676

D. 8√13

Rozwiązanie:

Długość odcinka o końcach w punktach A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂) dana jest wzorem:

$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

A = (-1, 2) i B = (5, - 2)

$|AB| = \sqrt{(5 + 1)^2 + (- 2 - 2)^2} =\sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36+16}= \\\ = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$

$Obw. = 4 \cdot |AB| = 4 \cdot 2\sqrt{13} =8\sqrt{13}$

Odp. D [8√13]

Zad. 18

Punkt S = (- 4,7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q = (17, 12) . Zatem punkt P ma współrzędne

A. P = 92, - 25)

B. P = (38, 170

C. P = (- 25, 2)

D. P = (- 12, 4)

Rozwiązanie:

Środek S odcinka AB o końcach w punktach A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂) ma współrzędne:

$S = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \ \frac{y_1 + y_2}{2})$

S = (- 4,7), Q = (17, 12), P = (x, y)

$(-4, \ 7) = (\frac{x + 17}{2}, \ \frac{y + 12}{2}) \\\\ \frac{x + 17}{2} = - 4 \ / \cdot 2 \ i \ \frac{y + 12}{2} = 7 \ / \cdot 2 \\\\ x + 17 = -8 \ i \ y + 12 = 14 \\\\ x = - 8 - 17 \ i \ y = 14 - 12 \\\\ x = - 25 \ i \ y = 2 \\\\ P = (-25, \ 2)$

Odp. C [P = (- 25, 2)]

Zad. 19

Odległość między środkami okręgów o równaniach (x + 1)² + (y - 2) = 9 oraz x² + y² = 10 jest równa

A. √5

B. √10 - 3

C. 3

D. 5

Rozwiązanie:

Równanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r ma postać: (x -a)² + (y - b)² = r²

(x + 1)² + (y - 2) = 9 - okrąg o środku S₁ = (-1, 2) i promieniu r = √9 = 3

x² + y² = 10 - okrąg o środku S₂ = (0, 0) i promieniu r = √10

$|S_1S_2| = \sqrt{(0 + 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + (- 2)^2} = \sqrt{1 + 5} = \sqrt{5}$

Odp. A [√5]

Zad. 20

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest

A. czworokąt

B. pięciokąt

C. sześciokąt

D. dziesięciokąt

Rozwiązanie:

Jeśli w podstawie granistosłupa jest n-kąt, to granistosłup ma 2n wierzchołków, 3n krawędzi, (n+2) ścian i n ścian bocznych.

n - liczba krawędzi podstawy

Z treści zadania:

3n = n + 10

3n - n = 10

2n = 10 /:2

n = 5

Zatem podstawą granistosłupa jest pięciokąt.

Odp. B [pięciokąt]

Zad. 21

Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości 4 i promieniu podstawy 3 jest równe

A. 9π

B. 12π

C. 15π

D. 16π

Rozwiązanie:

Jeżeli promień podstawy stożka ma długość r, wysokość h i tworząca l to: pole powierzchni bocznej stożka wynosi: Pb = πrl

h = 4, r = 3

l² = r² + h²

l² = 3² + 4²

l² = 9 + 16

l² = 25

l = 5

Pb = π · 3 · 5 = 15π

Odp. C [15π]

Zad. 22

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy

$A. \ p = \frac{1}{36} \\\\ B. \ p = \frac{1}{18} \\\\ C. \ p = \frac{1}{12} \\\\ D. \ p = \frac{1}{9}$

Rozwiązanie:

Ω - dwukrotny rzut kostką do gry

|Ω| = 6² = 36

A - iloczyn wyrzuconych oczek jest równy 5

A = {(1, 5), (5, 1)}

|A| = 2

$p = P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Odp. B $[p =\frac{1}{18}]$

Zad. 23

Liczba $\frac{\sqrt{50} - \sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ jest równa

A. 2√2

B. 2

C. 4

D. √10 - √6

Rozwiązanie:

$\frac{\sqrt{50} - \sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{9 \cdot 2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$

Odp. B [2]

Zad. 24

Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1, 2, 3, x, 5, 8 jest równa 4. Wtedy

A. x = 2

B. x = 3

C. x = 4

D. x = 5

Rozwiązanie:

Medianą uporządkowanego rosnąco ciągu n danych liczbowych dla n parzystego jest średnia arytmetycznaśrodkowych wyrazów ciągu.

1, 2, 3, x, 5, 8

W ciagu jest parzysta (n = 6) liczba wyrazów, Me = 4. Środkowe wyrazy to: 3 i x. Zatem:

$\frac{x+3}{2} = 4 \ / \cdot 2 \\\ x+ 3 = 8 \\\ x = 8 - 3 \\\ x = 5$

Odp. D [x = 5]

Zad. 25

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa 28√3. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

Rozwiązanie:

$V = P_p \cdot h = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h$

V = 28√3, h = 7

$28 \sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot 7 \ /:7 \\\\ 4\sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \ / \cdot 4 \\\\ 16\sqrt{3} = a^2 \sqrt{3} \ /:\sqrt{3} \\\\ a^2 = 16 \\\\ a = 4$

Odp. B [4]

ZADANIA OTWARTE

Zad. 26

Rozwiąż równanie x³ + 2x² - 8x - 16 = 0

Rozwiązanie:

x³ + 2x² - 8x - 16 = 0

x² · (x + 2) - 8 (x + 2) = 0

(x + 2)(x² - 8) = 0

(x + 2)(x - √8)(x + √8) = 0

x + 2 = 0 lub x - √8 = 0 lub x + √8 = 0

x + 2 = 0

x = - 2

x - √8 = 0

x = √8

x = √(4 · 2)

x = 2√2

x + √8 = 0

x = - √8

x = - √(4 · 2)

x = - 2√2

Odp. x = - 2 ∨ x = 2√2 ∨ x = - 2√2

Zad. 27

Kąt α jest ostry i $sin \ \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Oblicz wartość wyrażenia sin² α - 3cos² α.

Rozwiązanie:

$sin^2 \ \alpha + cos^2 \ \alpha = 1 \\\ cos^2 \ \alpha = 1 - sin^2 \ \alpha$

$sin^2 \ \alpha - 3cos^2 \ \alpha = sin^2 \ \alpha - 3 \cdot (1 - sin^2 \ \alpha) = sin^2 \ \alpha - 3 + \\\ +3sin^2 \ \alpha = 4sin^2 \ \alpha -3 = 4 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 3 = 4 \cdot \frac{3}{4} - 3 = 3 -3=0$

Odp. Wartość wyrażenia wynosi 0.

Zad. 28

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x + y + z = 0, prawdziwa jest nierówność xy + yz + zx ≤ 0.

Możesz skorzystać z tożsamości: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz

Rozwiązanie:

Zał. x + y + z = 0

Teza: xy + yz + zx ≤ 0

Dowód:

x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = (x + y + z)²

x + y + z = 0

Stąd:

x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 0²

x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 0

2xy + 2xz + 2yz = - (x² + y² + z² )

Ponieważ x² + y² + z² ≥ 0 ⇒ - (x² + y² + z² ) ≤ 0

Zatem:

2xy + 2xz + 2yz ≤ 0 /:2

xy + xz + yz ≤ 0

ckd

Zad. 29

Na rysunku (patrz załącznik) przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określony dla x ∈<- 7, 8>.

Odczytaj z wykresu i zapisz:

a) największą wartość funkcji f

$y_{max} = 7 \ dla \ x = 6$

b) zbiór rozwiązań nierówności f(x) < 0

$f(x) < 0 \ dla \ x \in (-3; \ 5)$

Zad. 30

Rozwiąż nierówność 2x² - 7x + 5 ≥ 0

Rozwiązanie:

$2x^2- 7x + 5 \geq 0 \\\ \Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 \\\ x_1 = \frac{7- \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7-3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \\\ x_2 = \frac{7+ \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7+3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} =2\frac{1}{2}$

Zaznaczamy miejsca zerowe 1 i 2,5 na osi. Ryujemy przybliżony wykres paraboli, której ramiona są skierowane w górę, bo a = 2 > 0 - patrz załącznik.

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór tych argumentów x, dla których wartości są wieksze lub równe zero (są nieujemne):

$x \in (-\infty; \ 1 \rangle \cup \langle 2\frac{1}{2}; \ + \infty)$

Odp. $x \in (-\infty; \ 1 \rangle \cup \langle 2\frac{1}{2}; \ + \infty)$

Zad. 31

Wykaż, że liczba $6^{100} - 2 \cdot6^{99} + 10 \cdot 6^{98}$ jest podzielna przez 17.

Rozwiązanie:

Zał. k ∈ C

Teza:

$6^{100} - 2 \cdot6^{99} + 10 \cdot 6^{98} = 17k$

Dowód:

$6^{100} - 2 \cdot6^{99} + 10 \cdot 6^{98} = 6^{98} \cdot (6^2 - 2 \cdot 6 + 10) = 6^{98} \cdot (36 - 12 + \\\ +10) = 6^{98} \cdot 34 = 6^{98} \cdot 2 \cdot 17 = k \cdot 17 = 17k, \ gdzie \ k = 6^{98} \cdot 2 \\\ ckd$

Zad. 32

Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.

Rozwiązanie:

|∢BAS| = α

|∢ACS| = 3α

|∢CBS| = 2α

ΔACS - trójkąt równoramienny, w którym |AS| = |CS|, zatem:

|∢CAS| = |∢ACS| = 3α

ΔABS - trójkąt równoramienny, w którym |AS| = |BS|, zatem:

|∢ABS| = |∢BAS| = α

ΔBCS - trójkąt równoramienny, w którym |BS| = |CS|, zatem:

|∢BCS| = |∢CBS| = 2α

Kąt przy wierzchołku A: |∢BAC| = |∢BAS| + |∢CAS| = α + 3α = 4α

Kąt przy wierzchołku B: |∢ABC| = |∢ABS| + |∢CBS| = α + 2α = 3α

Kąt przy wierzchołku C: |∢ACB| = |∢ACS| + |∢BCS| = 3α + 2α = 5α

Z własności trójkątów:

|∢BAC| + |∢ABC| + |∢ACB| = 180°

4α + 3α + 5α = 180°

12α = 180° /:12

α = 15°

|∢BAC| = 4α = 4 · 15° = 60°

|∢ABC| = 3α = 3 · 15° = 45°

|∢ACB| = 5α = 5 · 15° = 75°

Odp. Katy w trójkącie ABC mają miarę: 60°, 45° i 75°.

Zad. 33

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm², a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260cm². Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik

a - krawędż podstawy ostrosłupa (bok kwadratu)

h - wyskość ściany bocznej (trójkąta równoramiennego)

H - wysokość ostrosłupa

Pp - pole podstawy

Pb - pole powierzchni bocznej

V - objętość

Pp = 100 cm²

Pp = a²

a² = 100

a = 10

Pb = 260 cm²

Pb = 4 · ½ · a · h = 2ah

2ah = 260

2 · 10 · h = 260

20h = 260 /:20

h = 13 cm

ΔEOS - trójkąt prostokątny

|ES|² = |EO|² + |OS|²

h² = (½ · a)² + H²

13² = (½ · 10)² + H²

169 = 5² + H²

H² + 25 = 169

H² = 169 - 25

H² = 144

H = 12 cm

V = ⅓ · Pp · H

V = ⅓ · 100 · 12

V = 400 cm³

Odp. Objętość ostrosłupa wynosi 400 cm³.

Zad. 34

Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.

Rozwiązanie:

odległość między miastami (droga): s

czas przejazdu pierwszego pociągu: t₁ = t

czas przejazdu drugiego pociągu: t₂ = t + 40 min = t + ⅔ h

średnia prędkość pierwszego pociągu: V₁ = V

średnia prędkość drugiego pociągu: V₂ = V - 9 km/h

Pierwszy pociąg:

$V_1 = \frac{s}{t_1} \\\\ V = \frac{336}{t}$

Drugi pociąg:

$V_2 = \frac{s}{t_2} \\\\ V - 9 = \frac{336}{t + \frac{2}{3}} \\\\ V - 9 = \frac{336}{\frac{3t}{3}+ \frac{2}{3}} \\\\ V - 9 = \frac{336}{\frac{3t+2}{3}} \\\\ V - 9 = 336 : \frac{3t+2}{3} \\\\ V - 9 = 336 \cdot \frac{3}{3t+2} \\\\ V - 9 = \frac{1008}{3t+2} \\\\ V = \frac{1008}{3t+2} + 9 \\\\ V = \frac{1008}{3t+2} + \frac{9 \cdot (3t+2)}{3t+2} \\\\ V = \frac{1008}{3t+2} + \frac{27t+18}{3t+2} \\\\ V = \frac{1008+27t + 18}{3t+2} \\\\ V = \frac{27t + 1026}{3t+2}$

Stąd:

$\frac{336}{t} = \frac{27t + 1026}{3t+2} \\\\ t \cdot (27t + 1026) = 336 \cdot (3t+2) \\\ 27t^2 + 1026t = 1008t + 672 \\\ 27t^2 + 1026t - 1008t - 672 = 0 \\\ 27t^2 + 18t - 672 = 0 \ /:3 \\\ 9t^2 + 6t - 224 = 0 \\\ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-224) = 36 + 8064 = 8100 \\\\ t_1 = \frac{-6-\sqrt{8100}}{2 \cdot 9} = \frac{-6-90}{18} = \frac{-96}{18} = -\frac{16}{3} < 0 \ (odrzucamy) \\\\ t_1 = \frac{-6+\sqrt{8100}}{2 \cdot 9} = \frac{-6+90}{18} = \frac{84}{18} = \frac{14}{3} \\\\ czyli \ t = \frac{14}{3} \ h$