Zatem najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą daną nierówność jest liczba: - 1
Odp. B [- 1]
Zad. 11
Na rysunku 1 (patrz załącznik) przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x) określonej dla x ∈ <7, 4>. Rysunek 2 (patrz załącznik) przedstawia wykres funkcji
A. y = f(x + 2)
B. y = f(x) - 2
C. y = f(x - 2)
D. y = f(x) + 2
Rozwiązanie:
Na podstawie rysunków wiem, że wykres funkcji f(x) został przesunięty o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX, zatem rys. 2 przedstawia funkcję: y = f(x - 2)
Odp. C [y = f(x - 2)]
Zad. 12
Ciąg (27, 18, x + 5) jest geometryczny. Wtedy
A. x = 4
B. x = 5
C. x = 7
D. x = 9
Rozwiązanie:
Tw. Jeżli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, to dla n > 1 zachodzi równość:
Zatem:
Odp. C [x = 7]
Zad. 13
Ciąg (an) określony dla n ≥ 1 jest arytmetyczny oraz a₃ = 10 i a₄ = 14. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A. a₁ = - 2
B. a₁ = 2
C. a₁ = 6
D. a₁ = 12
Rozwiązanie:
n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem:
gdzie r to różnica ciągu arytmetycznego
r = a₄ - a₃ = 14 - 10 = 4
a₃ = a₁ + 2r
a₁ + 2 · 4 = 10
a₁ + 8 = 10
a₁ = 10 - 8
a₁ = 2
Odp. B [a₁ = 2]
Zad. 14
Kąt α jest ostry i . Wartość cos² α - 2 jest równa
Rozwiązanie:
Tożsamość trygonometryczna:
sin² α + cos² α = 1
cos² α = 1 - sin² α
Odp. A
Zad. 15
Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50° (tak jak na rysunku - patrz załacznik). Miara kąta α jest równa
A. 25°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
Rozwiązanie:
|∢DMB| = α
|∢DSB| = |∢ASC| = 50°, bo kąty DSB i ASC to kąty wierzchołkowe, a takie kąty mają równe miary.
Kąt DSB to kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany DMB, a jeżeli kąt wpisany i środkowy oparte są na tym samym łuku, to miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego. Zatem:
|∢DMB| = ½ · |∢DSB|
α = ½ · 50°
α = 25°
Odp. A [25°]
Zad. 16
Liczba rzeczywistych rozwiązań równania (x + 1)(x + 2)(x² + 3) = 0 jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Rozwiązanie:
(x + 1)(x + 2)(x² + 3) = 0
x + 1 = 0 lub x + 2 = 0 lub x² + 3 = 0
x = - 1 lub x = - 2 lub x² = - 3 (sprzeczność - brak rozwiązań)
Zatem równanie ma 2 rozwiązania.
Odp. C [2]
Zad. 17 Punkty A = (-1, 2) i B = (5, - 2) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód tego rombu jest równy
A. √13
B. 13
C. 676
D. 8√13
Rozwiązanie:
Długość odcinka o końcach w punktach A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂) dana jest wzorem:
A = (-1, 2) i B = (5, - 2)
Odp. D [8√13]
Zad. 18
Punkt S = (- 4,7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q = (17, 12) . Zatem punkt P ma współrzędne
A. P = 92, - 25)
B. P = (38, 170
C. P = (- 25, 2)
D. P = (- 12, 4)
Rozwiązanie:
Środek S odcinka AB o końcach w punktach A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂) ma współrzędne:
S = (- 4,7), Q = (17, 12), P = (x, y)
Odp. C [P = (- 25, 2)]
Zad. 19
Odległość między środkami okręgów o równaniach (x + 1)² + (y - 2) = 9 oraz x² + y² = 10 jest równa
A. √5
B. √10 - 3
C. 3
D. 5
Rozwiązanie:
Równanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r ma postać: (x -a)² + (y - b)² = r²
(x + 1)² + (y - 2) = 9 - okrąg o środku S₁ = (-1, 2) i promieniu r = √9 = 3
x² + y² = 10 - okrąg o środku S₂ = (0, 0) i promieniu r = √10
Odp. A [√5]
Zad. 20
Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest
A. czworokąt
B. pięciokąt
C. sześciokąt
D. dziesięciokąt
Rozwiązanie:
Jeśli w podstawie granistosłupa jest n-kąt, to granistosłup ma 2n wierzchołków, 3n krawędzi, (n+2) ścian i n ścian bocznych.
n - liczba krawędzi podstawy
Z treści zadania:
3n = n + 10
3n - n = 10
2n = 10 /:2
n = 5
Zatem podstawą granistosłupa jest pięciokąt.
Odp. B [pięciokąt]
Zad. 21
Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości 4 i promieniu podstawy 3 jest równe
A. 9π
B. 12π
C. 15π
D. 16π
Rozwiązanie:
Jeżeli promień podstawy stożka ma długość r, wysokość h i tworząca l to: pole powierzchni bocznej stożka wynosi: Pb = πrl
h = 4, r = 3
l² = r² + h²
l² = 3² + 4²
l² = 9 + 16
l² = 25
l = 5
Pb = π · 3 · 5 = 15π
Odp. C [15π]
Zad. 22
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy
Rozwiązanie:
Ω - dwukrotny rzut kostką do gry
|Ω| = 6² = 36
A - iloczyn wyrzuconych oczek jest równy 5
A = {(1, 5), (5, 1)}
|A| = 2
Odp. B
Zad. 23
Liczba jest równa
A. 2√2
B. 2
C. 4
D. √10 - √6
Rozwiązanie:
Odp. B [2]
Zad. 24
Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1, 2, 3, x, 5, 8 jest równa 4. Wtedy
A. x = 2
B. x = 3
C. x = 4
D. x = 5
Rozwiązanie:
Medianą uporządkowanego rosnąco ciągu n danych liczbowych dla n parzystego jest średnia arytmetycznaśrodkowych wyrazów ciągu.
1, 2, 3, x, 5, 8
W ciagu jest parzysta (n = 6) liczba wyrazów, Me = 4. Środkowe wyrazy to: 3 i x. Zatem:
Odp. D [x = 5]
Zad. 25
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa 28√3. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
Rozwiązanie:
V = 28√3, h = 7
Odp. B [4]
ZADANIA OTWARTE
Zad. 26
Rozwiąż równanie x³ + 2x² - 8x - 16 = 0
Rozwiązanie:
x³ + 2x² - 8x - 16 = 0
x² · (x + 2) - 8 (x + 2) = 0
(x + 2)(x² - 8) = 0
(x + 2)(x - √8)(x + √8) = 0
x + 2 = 0 lub x - √8 = 0 lub x + √8 = 0
x + 2 = 0
x = - 2
x - √8 = 0
x = √8
x = √(4 · 2)
x = 2√2
x + √8 = 0
x = - √8
x = - √(4 · 2)
x = - 2√2
Odp. x = - 2 ∨ x = 2√2 ∨ x = - 2√2
Zad. 27
Kąt α jest ostry i . Oblicz wartość wyrażenia sin² α - 3cos² α.
Rozwiązanie:
Odp. Wartość wyrażenia wynosi 0.
Zad. 28
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x + y + z = 0, prawdziwa jest nierówność xy + yz + zx ≤ 0.
Na rysunku (patrz załącznik) przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określony dla x ∈<- 7, 8>.
Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) największą wartość funkcji f
b) zbiór rozwiązań nierówności f(x) < 0
Zad. 30
Rozwiąż nierówność 2x² - 7x + 5 ≥ 0
Rozwiązanie:
Zaznaczamy miejsca zerowe 1 i 2,5 na osi. Ryujemy przybliżony wykres paraboli, której ramiona są skierowane w górę, bo a = 2 > 0 - patrz załącznik.
Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór tych argumentów x, dla których wartości są wieksze lub równe zero (są nieujemne):
Odp.
Zad. 31
Wykaż, że liczba jest podzielna przez 17.
Rozwiązanie:
Zał. k ∈ C
Teza:
Dowód:
Zad. 32
Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.
Rozwiązanie:
|∢BAS| = α
|∢ACS| = 3α
|∢CBS| = 2α
ΔACS - trójkąt równoramienny, w którym |AS| = |CS|, zatem:
|∢CAS| = |∢ACS| = 3α
ΔABS - trójkąt równoramienny, w którym |AS| = |BS|, zatem:
|∢ABS| = |∢BAS| = α
ΔBCS - trójkąt równoramienny, w którym |BS| = |CS|, zatem:
Odp. Katy w trójkącie ABC mają miarę: 60°, 45° i 75°.
Zad. 33
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm², a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260cm². Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie:
Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik
a - krawędż podstawy ostrosłupa (bok kwadratu)
h - wyskość ściany bocznej (trójkąta równoramiennego)
H - wysokość ostrosłupa
Pp - pole podstawy
Pb - pole powierzchni bocznej
V - objętość
Pp = 100 cm²
Pp = a²
a² = 100
a = 10
Pb = 260 cm²
Pb = 4 · ½ · a · h = 2ah
2ah = 260
2 · 10 · h = 260
20h = 260 /:20
h = 13 cm
ΔEOS - trójkąt prostokątny
|ES|² = |EO|² + |OS|²
h² = (½ · a)² + H²
13² = (½ · 10)² + H²
169 = 5² + H²
H² + 25 = 169
H² = 169 - 25
H² = 144
H = 12 cm
V = ⅓ · Pp · H
V = ⅓ · 100 · 12
V = 400 cm³
Odp. Objętość ostrosłupa wynosi 400 cm³.
Zad. 34
Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.
Rozwiązanie:
odległość między miastami (droga): s
czas przejazdu pierwszego pociągu: t₁ = t
czas przejazdu drugiego pociągu: t₂ = t + 40 min = t + ⅔ h
średnia prędkość pierwszego pociągu: V₁ = V
średnia prędkość drugiego pociągu: V₂ = V - 9 km/h
Pierwszy pociąg:
Drugi pociąg:
Stąd:
Zatem:
Pierwszy pociąg:
Drugi pociąg:
Odp. Średnia prędkość pierwszego pociągu wynosiła 72 km/h, a drugiego pociągu 63 km/h.
ZADANIA ZAMKNIĘTE
Zad. 1
Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych
spełniających nierówność |x + 4| < 5
Rysunki w załączniku
Rozwiązanie:
|x + 4| < 5
|x - (- 4)| < 5
Zatem szukamy liczb x, których odległość od liczby (-4) jest mniejsza od 5, czyli odp. A
Można to zrobić też rachunkowo:
|x + 4| < 5
x + 4 < 5 i x + 4 > - 5
x < 5 - 4 i x > - 5 - 4
x < 1 i x > - 9
czyli
- 9 < x < 1
Zatem: x ∈ (- 9; 1)
Odp. A [x ∈ (- 9; 1)]
Zad. 2
Liczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. Stąd wynika, że a jest równe
A. 103% liczby b
B. 125% liczby b
C. 150% liczby b
D. 153% liczby b
Rozwiązanie:
Odp. B [125% liczby b]
Zad. 3
Liczba log 100 - log₂ 8 jest równa
A. - 2
B. - 1
C. 0
D. 1
Rozwiązanie:
Odp. B [ - 1 ]
Zad. 4
Rozwiązaniem układu równań
jest para liczb
A. x = - 3 i y = 4
B. x = - 3 i y = 6
C. x = 3 i y = - 4
D. x = 9 i y = 4
Rozwiązanie:
Zatem x = 3 i y = - 4
Można oczywiście sprawdzać po kolei, która para liczb spełnia układ równań:
A. x = - 3 i y = 4
5 · (-3) + 3 · 4 = - 15 + 12 = - 3 ≠ 3
B. x = - 3 i y = 6
5 · (-3) + 3 · 6 = - 15 + 18 = 3
8 · (-3) - 6 · 6 = - 24 - 36 = - 60 ≠ 48
C. x = 3 i y = - 4
5 · 3 + 3 · (- 4) = 15 - 12 = 3
8 · 3 - 6 · (- 4) = 24 + 24 = 48
D. x = 9 i y = 4
5 · 9 + 3 · 4 = 45 + 12 = 57≠ 3
Odp. C [x = 3 i y = - 4]
Zad. 5
Punkt A = (0,1) leży na wykresie funkcji liniowej f(x) = (m-2)x + m - 3. Stąd wynika, że
A. m = 1
B. m = 2
C. m = 3
D. m = 4
Rozwiązanie:
A = (0,1) ∈ f(x) = (m-2)x + m - 3
(m-2) \cdot 0 + m - 3 = 1
m - 3 = 1
m = 1+3
m = 4
Odp. D [m = 4]
Zad. 6
Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = - 3(x - 2)² + 4 jest punkt o współrzędnych
A. (- 2, - 4)
B. (- 2, 4)
C. (2, - 4)
D. (2, 4)
Rozwiązanie:
Równanie paraboli w postaci kanonicznej:y = a(x - p)² + q
gdzie p i q są to współrzędne wierzchołka paraboli W = (p; q)
y = - 3(x - 2)² + 4
p = 2 i q = 4
Zatem:
W = (2; 4)
Odp. D [(2, 4)]
Zad. 7
Dla każdej liczby rzeczywistej x, wyrażenie 4x² - 12x + 9 jest równe
A. (4x + 3)(x + 3)
B. (2x - 3)(2x + 3)
C. (2x - 3)(2x - 3)
D. (x - 3)(4x - 3)
Rozwiązanie:
4x² - 12x + 9 = (2x)² - 2 · 2x · 3 + 3² = (2x - 3)² = (2x - 3)(2x - 3)
Odp. C [(2x - 3)(2x - 3)]
Zad. 8
Prosta o równaniu
jest prostopadła do prostej o równaniu
Stąd wynika, że
A. m = - 3
B. m = ²/₃
C. m = ³/₂
D. m = 3
Rozwiązanie:
Warunek prostopadłości prostych: Proste w układzie współrzędnych są prostopadłe wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi - 1.
Odp. D [m = 3]
Zad. 9
Na rysunku (patrz załącznik) przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. Jakie znaki mają współczynniki a i b ?
A. a < 0 i b < 0
B. a < 0 i b > 0
C. a > 0 i b < 0
D. a > 0 i b > 0
Rozwiązanie:
Funkcja liniowa y = ax + b jest malejąca, gdy a < 0 i przecina oś OY w punkcie (0, b).
Z rysunku widać, że funkcja jest malejąca, czyli a < 0 i przecina oś OY w punkcie, którego druga współrzędna jest ujemna, czyli b < 0.
Zatem a < 0 i b < 0
Odp. A [a < 0 i b < 0]
Zad. 10
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność
A. - 2
B. - 1
C. 0
D. 1
Rozwiązanie:
x ∈ C
Zatem najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą daną nierówność jest liczba: - 1
Odp. B [- 1]
Zad. 11
Na rysunku 1 (patrz załącznik) przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x) określonej dla x ∈ <7, 4>. Rysunek 2 (patrz załącznik) przedstawia wykres funkcji
A. y = f(x + 2)
B. y = f(x) - 2
C. y = f(x - 2)
D. y = f(x) + 2
Rozwiązanie:
Na podstawie rysunków wiem, że wykres funkcji f(x) został przesunięty o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX, zatem rys. 2 przedstawia funkcję: y = f(x - 2)
Odp. C [y = f(x - 2)]
Zad. 12
Ciąg (27, 18, x + 5) jest geometryczny. Wtedy
A. x = 4
B. x = 5
C. x = 7
D. x = 9
Rozwiązanie:
Tw. Jeżli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, to dla n > 1 zachodzi równość:
Zatem:
Odp. C [x = 7]
Zad. 13
Ciąg (an) określony dla n ≥ 1 jest arytmetyczny oraz a₃ = 10 i a₄ = 14. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A. a₁ = - 2
B. a₁ = 2
C. a₁ = 6
D. a₁ = 12
Rozwiązanie:
n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem:
gdzie r to różnica ciągu arytmetycznego
r = a₄ - a₃ = 14 - 10 = 4
a₃ = a₁ + 2r
a₁ + 2 · 4 = 10
a₁ + 8 = 10
a₁ = 10 - 8
a₁ = 2
Odp. B [a₁ = 2]
Zad. 14
Kąt α jest ostry i
. Wartość cos² α - 2 jest równa
Rozwiązanie:
Tożsamość trygonometryczna:
sin² α + cos² α = 1
cos² α = 1 - sin² α
Odp. A![[-\frac{7}{4}] [-\frac{7}{4}]](https://tex.z-dn.net/?f=%5B-%5Cfrac%7B7%7D%7B4%7D%5D)
Zad. 15
Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50° (tak jak na rysunku - patrz załacznik). Miara kąta α jest równa
A. 25°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
Rozwiązanie:
|∢DMB| = α
|∢DSB| = |∢ASC| = 50°, bo kąty DSB i ASC to kąty wierzchołkowe, a takie kąty mają równe miary.
Kąt DSB to kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany DMB, a jeżeli kąt wpisany i środkowy oparte są na tym samym łuku, to miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego. Zatem:
|∢DMB| = ½ · |∢DSB|
α = ½ · 50°
α = 25°
Odp. A [25°]
Zad. 16
Liczba rzeczywistych rozwiązań równania (x + 1)(x + 2)(x² + 3) = 0 jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Rozwiązanie:
(x + 1)(x + 2)(x² + 3) = 0
x + 1 = 0 lub x + 2 = 0 lub x² + 3 = 0
x = - 1 lub x = - 2 lub x² = - 3 (sprzeczność - brak rozwiązań)
Zatem równanie ma 2 rozwiązania.
Odp. C [2]
Zad. 17
Punkty A = (-1, 2) i B = (5, - 2) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód tego rombu jest równy
A. √13
B. 13
C. 676
D. 8√13
Rozwiązanie:
Długość odcinka o końcach w punktach A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂) dana jest wzorem:
A = (-1, 2) i B = (5, - 2)
Odp. D [8√13]
Zad. 18
Punkt S = (- 4,7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q = (17, 12) . Zatem punkt P ma współrzędne
A. P = 92, - 25)
B. P = (38, 170
C. P = (- 25, 2)
D. P = (- 12, 4)
Rozwiązanie:
Środek S odcinka AB o końcach w punktach A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂) ma współrzędne:
S = (- 4,7), Q = (17, 12), P = (x, y)
Odp. C [P = (- 25, 2)]
Zad. 19
Odległość między środkami okręgów o równaniach (x + 1)² + (y - 2) = 9 oraz x² + y² = 10 jest równa
A. √5
B. √10 - 3
C. 3
D. 5
Rozwiązanie:
Równanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r ma postać: (x -a)² + (y - b)² = r²
(x + 1)² + (y - 2) = 9 - okrąg o środku S₁ = (-1, 2) i promieniu r = √9 = 3
x² + y² = 10 - okrąg o środku S₂ = (0, 0) i promieniu r = √10
Odp. A [√5]
Zad. 20
Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest
A. czworokąt
B. pięciokąt
C. sześciokąt
D. dziesięciokąt
Rozwiązanie:
Jeśli w podstawie granistosłupa jest n-kąt, to granistosłup ma 2n wierzchołków, 3n krawędzi, (n+2) ścian i n ścian bocznych.
n - liczba krawędzi podstawy
Z treści zadania:
3n = n + 10
3n - n = 10
2n = 10 /:2
n = 5
Zatem podstawą granistosłupa jest pięciokąt.
Odp. B [pięciokąt]
Zad. 21
Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości 4 i promieniu podstawy 3 jest równe
A. 9π
B. 12π
C. 15π
D. 16π
Rozwiązanie:
Jeżeli promień podstawy stożka ma długość r, wysokość h i tworząca l to: pole powierzchni bocznej stożka wynosi: Pb = πrl
h = 4, r = 3
l² = r² + h²
l² = 3² + 4²
l² = 9 + 16
l² = 25
l = 5
Pb = π · 3 · 5 = 15π
Odp. C [15π]
Zad. 22
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy
Rozwiązanie:
Ω - dwukrotny rzut kostką do gry
|Ω| = 6² = 36
A - iloczyn wyrzuconych oczek jest równy 5
A = {(1, 5), (5, 1)}
|A| = 2
Odp. B![[p =\frac{1}{18}] [p =\frac{1}{18}]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Bp+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B18%7D%5D)
Zad. 23
Liczba
jest równa
A. 2√2
B. 2
C. 4
D. √10 - √6
Rozwiązanie:
Odp. B [2]
Zad. 24
Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1, 2, 3, x, 5, 8 jest równa 4. Wtedy
A. x = 2
B. x = 3
C. x = 4
D. x = 5
Rozwiązanie:
Medianą uporządkowanego rosnąco ciągu n danych liczbowych dla n parzystego jest średnia arytmetycznaśrodkowych wyrazów ciągu.
1, 2, 3, x, 5, 8
W ciagu jest parzysta (n = 6) liczba wyrazów, Me = 4. Środkowe wyrazy to: 3 i x. Zatem:
Odp. D [x = 5]
Zad. 25
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa 28√3. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
Rozwiązanie:
V = 28√3, h = 7
Odp. B [4]
ZADANIA OTWARTE
Zad. 26
Rozwiąż równanie x³ + 2x² - 8x - 16 = 0
Rozwiązanie:
x³ + 2x² - 8x - 16 = 0
x² · (x + 2) - 8 (x + 2) = 0
(x + 2)(x² - 8) = 0
(x + 2)(x - √8)(x + √8) = 0
x + 2 = 0 lub x - √8 = 0 lub x + √8 = 0
x + 2 = 0
x = - 2
x - √8 = 0
x = √8
x = √(4 · 2)
x = 2√2
x + √8 = 0
x = - √8
x = - √(4 · 2)
x = - 2√2
Odp. x = - 2 ∨ x = 2√2 ∨ x = - 2√2
Zad. 27
Kąt α jest ostry i
. Oblicz wartość wyrażenia sin² α - 3cos² α.
Rozwiązanie:
Odp. Wartość wyrażenia wynosi 0.
Zad. 28
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x + y + z = 0, prawdziwa jest nierówność xy + yz + zx ≤ 0.
Możesz skorzystać z tożsamości: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz
Rozwiązanie:
Zał. x + y + z = 0
Teza: xy + yz + zx ≤ 0
Dowód:
x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = (x + y + z)²
x + y + z = 0
Stąd:
x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 0²
x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 0
2xy + 2xz + 2yz = - (x² + y² + z² )
Ponieważ x² + y² + z² ≥ 0 ⇒ - (x² + y² + z² ) ≤ 0
Zatem:
2xy + 2xz + 2yz ≤ 0 /:2
xy + xz + yz ≤ 0
ckd
Zad. 29
Na rysunku (patrz załącznik) przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określony dla x ∈<- 7, 8>.
Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) największą wartość funkcji f
b) zbiór rozwiązań nierówności f(x) < 0
Zad. 30
Rozwiąż nierówność 2x² - 7x + 5 ≥ 0
Rozwiązanie:
Zaznaczamy miejsca zerowe 1 i 2,5 na osi. Ryujemy przybliżony wykres paraboli, której ramiona są skierowane w górę, bo a = 2 > 0 - patrz załącznik.
Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór tych argumentów x, dla których wartości są wieksze lub równe zero (są nieujemne):
Odp.
Zad. 31
Wykaż, że liczba
jest podzielna przez 17.
Rozwiązanie:
Zał. k ∈ C
Teza:
Dowód:
Zad. 32
Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.
Rozwiązanie:
|∢BAS| = α
|∢ACS| = 3α
|∢CBS| = 2α
ΔACS - trójkąt równoramienny, w którym |AS| = |CS|, zatem:
|∢CAS| = |∢ACS| = 3α
ΔABS - trójkąt równoramienny, w którym |AS| = |BS|, zatem:
|∢ABS| = |∢BAS| = α
ΔBCS - trójkąt równoramienny, w którym |BS| = |CS|, zatem:
|∢BCS| = |∢CBS| = 2α
Kąt przy wierzchołku A: |∢BAC| = |∢BAS| + |∢CAS| = α + 3α = 4α
Kąt przy wierzchołku B: |∢ABC| = |∢ABS| + |∢CBS| = α + 2α = 3α
Kąt przy wierzchołku C: |∢ACB| = |∢ACS| + |∢BCS| = 3α + 2α = 5α
Z własności trójkątów:
|∢BAC| + |∢ABC| + |∢ACB| = 180°
4α + 3α + 5α = 180°
12α = 180° /:12
α = 15°
|∢BAC| = 4α = 4 · 15° = 60°
|∢ABC| = 3α = 3 · 15° = 45°
|∢ACB| = 5α = 5 · 15° = 75°
Odp. Katy w trójkącie ABC mają miarę: 60°, 45° i 75°.
Zad. 33
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm², a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260cm². Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie:
Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik
a - krawędż podstawy ostrosłupa (bok kwadratu)
h - wyskość ściany bocznej (trójkąta równoramiennego)
H - wysokość ostrosłupa
Pp - pole podstawy
Pb - pole powierzchni bocznej
V - objętość
Pp = 100 cm²
Pp = a²
a² = 100
a = 10
Pb = 260 cm²
Pb = 4 · ½ · a · h = 2ah
2ah = 260
2 · 10 · h = 260
20h = 260 /:20
h = 13 cm
ΔEOS - trójkąt prostokątny
|ES|² = |EO|² + |OS|²
h² = (½ · a)² + H²
13² = (½ · 10)² + H²
169 = 5² + H²
H² + 25 = 169
H² = 169 - 25
H² = 144
H = 12 cm
V = ⅓ · Pp · H
V = ⅓ · 100 · 12
V = 400 cm³
Odp. Objętość ostrosłupa wynosi 400 cm³.
Zad. 34
Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.
Rozwiązanie:
odległość między miastami (droga): s
czas przejazdu pierwszego pociągu: t₁ = t
czas przejazdu drugiego pociągu: t₂ = t + 40 min = t + ⅔ h
średnia prędkość pierwszego pociągu: V₁ = V
średnia prędkość drugiego pociągu: V₂ = V - 9 km/h
Pierwszy pociąg:
Drugi pociąg:
Stąd:
Zatem:
Pierwszy pociąg:
Drugi pociąg:
Odp. Średnia prędkość pierwszego pociągu wynosiła 72 km/h, a drugiego pociągu 63 km/h.