Question

Math Quizzz (Pembuktian)

Selama ini, kita pernah mengenal rumus jarak suatu titik ke garis Ax + By + C = 0 yang dituliskan sebagai :



Cobalah buktikan rumus tersebut !

Jawaban harus berkaitan dengan soal dan tidak asal jawab, begitu juga spam. Jika melakukan hal di atas langsung report dan poin batal.​

Answer 1

•>. Jarak suatu titik terhadap suatu garis merupakan jarak dari titik tersebut terhadap titik yang merupakan perpotongan garis di atas dengan suatu garis yang tegak lurus dengan garis di atas dan memotong titik tersebut di atas.

•>. Persamaan Garis yang tegak lurus dengan persamaan garis di atas dan memotong titik (x1, y1)

[aX + bY + c = 0] : b

(a/b). X + Y + c/b = 0

Y = - (a/b). X - c/b ... Pers 1

Y - Y1 = m. (X - X1)

Y - Y1 = b/a. (X - X1)

~> Kedua garis tersebut berpotongan di titik (x2, y2) dan dengan memasukkannya ke dalam kedua persamaan garis di atas, didapatkan (x2, y2) sebagai fungsi dari (x1, y1) ;

Y2 - Y1 = b/a. (X2 - X1)

Y2 = - (a/b). X2 - c/b ... Pers 2

——————————————— -

- Y1 = [b/a + a/b]. X2 - c/b - (b/a). X1

X2 = a.b × [(b/a).X1 - Y2 - c/b]/(a² + b²) ... Pers 3

~> Subtitusi pers 3 => pers 2!

Y2 = - (a/b). {[(b/a).X1 - Y2 - c/b]/(a² + b²)} - c/b ... Pers 2'

~> Dari sini, telah diperoleh persamaan untuk titik (x2, y2). Jarak antara titik (x1, y1) ke garis aX + bY + c = 0 merupakan jarak antara (x1, y1) dan (x2, y2). Berdasarkan rumus jarak antara dua titik (menggunakan rumus Phytagoras) :

~> Dengan memasukkan semua persamaan yang sudah kita dapatkan maka akan didapat rumus untuk menentukan jarak (d). Namun, untuk mempermudah penurunannya, rumus di atas perlu dikerjakan suku per suku.

• Suku (X2 - X1)

X2 - X1 = a.b × {[(b/a).X1 - Y2 - c/b]/(a² + b²)} - X1

= [b².X1 - a.b.Y1 - a.c - X1. (a² + b²)]/(a² - b²)

= - a.(a.X1 + b.Y1 + c)/a² + b² ... Pers X ✓

• Suku (Y2 - Y1)

Y2 - Y1 = - (a/b). {[(b/a).X1 - Y2 - c/b]/(a² + b²)} - c/b - Y1

= {- a.b.X1 + a².Y1 + (a².c/b) - c/b. (a² + b²) - Y1. (a² + b²)}/a² + b²

= {- b. (a.X1 + b.Y1 + c)}/a² + b² ... Pers Y ✓

~> Kita sudah mendapatkan nilai Suku X & Y! sekarang dapat kita Subtitusi-kan ke persamaan jarak/Pythagoras!

D² = (X2 - X1)² + (Y2 - Y1)²

D² = [- a.(a.X1 + b.Y1 + c)/a² + b²]² + [- b. (a.X1 + b.Y1 + c)/a² + b]²

= (a² + b²) . {(a.X1 + b.Y1 + c)²}/(a² + b²)²

= (a.X1 + b.Y1 + c)²/(a² + b²)

= √(a.X1 + b.Y1 + c)²/(a² + b²)

= |a.X1 + b.Y1 + c|/(a² + b²) ✓✓