#Math Challange 4 (Difficulty Easy)Carilah persamaan bola yang pusatnya terletak pada garis simetrik.... Question from @Adjie564

December 2019 1 177 Report

#Math Challange 4 (Difficulty Easy)

Carilah persamaan bola yang pusatnya terletak pada garis simetrik x - 1 = y + 2 = z - 3 dan melalui titik perpotongan bidang $\alpha:x-y+z=0,\beta:3x-y+2z=3,\,dan\,\gamma:x+y-z=4$

Petunjuk : Ambil titik awal garis simetriknya.

Pony80 ~~~~~~Persamaan Bola~~~~~~

Diketahui : Pusat bola terletak pada x - 1 = y + 2 = z - 3 serta melalui perpotongan tiga buah bidang.

Kita nyatakan garis simetriknya menjadi bentuk parameter t, sehingga :

x - 1 = t ----> x = t + 1

y + 2 = t ----> y = t - 2

z - 3 = t ----> z = t + 3

Ambil titik permulaan saja yaitu t = 0 sehingga pusat bola tersebut dititik P(1,-2,3)

Selanjutnya, cari perpotongan bidangnya dengan eliminasi.

x - y + z = 0
3x - y + 2z = 3
x + y - z = 4

Eliminasi $\beta\,dan\,\alpha$ sehingga diperoleh :

2x + z = 3...(4)

Eliminasi $\beta\,dan\,\gamma$ sehingga diperoleh :

4x + z = 7...(5)

Eliminasikan lagi persamaan (5) dan (4), didapatlah nilai absisnya yaitu 2x = 4, x = 2 dan aplikatnya z = -1.

Lalu, substitusikan kedua nilai tersebut ke bidang alpha tadi, didapatlah ordinatnya y = 1.

Jadi, bola melalui titik Q(2,1,-1).

Jari-jari bolanya sendiri adalah panjang ruas garis P(1,-2,3) dengan Q(2,1,-1), dengan menggunakan rumus :

$|PQ|=\sqrt{{({x}_{2}-{x}_{1})}^{2}+{({y}_{2}-{y}_{1})}^{2}+{({z}_{2}-{z}_{1})}^{2}}$

Maka, panjang PQ adalah :

$|PQ|=\sqrt{{(2-1)}^{2}+{(1-(-2))}^{2}+{(-1-3)}^{2}}=\sqrt{1+9+16}\\|PQ|=\sqrt{26}$

Persamaan bola yang melalui titik P(a,b,c) ditentukan dengan rumus :

${(x-a)}^{2}+{(y-b)}^{2}+{(z-c)}^{2}={r}^{2}$

Dengan demikian, persamaanya :

${(x-1)}^{2}+{(y+2)}^{2}+{(z-3)}^{2}=26$

Semoga membantu, jadiin yang terbaik yups...

Adjie564 Cerdas...