matematyka zadanie domowe technikumzadanie 1 d,f,h zadanie 2d.... Question from @polski13337

polski13337 @polski13337

March 2022 1 9 Report

matematyka zadanie domowe technikum
zadanie 1 d,f,h
zadanie 2d

Chemik97

Verified answer

Witaj :)

Zadanie 1.

W tym zadaniu mamy do czynienia z równaniami dwukwadratowymi. Równania dwukwadratowe są to równania postaci:

$\large \boxed{ax^4+bx^2+c=0}$

Przy założeniach, że:

$a,b,c\in R\\a\neq 0$

Takie równanie dwukwadratowe możemy sprowadzić do równania kwadratowego, jeżeli wprowadzimy sobie zmienną pomocniczą postaci:

$x^2=t$

Wówczas możemy takie równanie zapisać jako:

$\large \boxed{at^2+bt+c=0}$

mamy teraz równanie kwadratowe, które rozwiązujemy klasycznymi metodami takimi jak wyliczenie wyznacznika takiego trójmianu, lub rozłożeniem równania na iloczyn nawiasów.

Bardzo ważne jest, że gdy wyznaczymy nasze "t", to do końcowej odpowiedzi musimy wrócić do naszego podstawienia, i wyliczyć "x".

Przejdźmy do przykładów:

Przykład d

$x^4+5x^2+4=0\\\\x^2=t, \ \ t\geq 0\\\\t^2+5t+4=0\\\\a=1\\b=5\\c=4\\\\\Delta = b^2-4ac=5^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9>0\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3\\\\t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-5-3}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4\\\\t_2= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-5+3}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1\\\\Wracamy\ do\ podstawienia\ x^2=t:\\\\x^2=-4\implies sprzecznosc\ \ \ \vee \ \ \ x^2=-1 \implies sprzecznosc$

Wobec powyższego to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

ODP.: $x\notin R$

Przykład f

$x^4+2\sqrt{2}x^2+2=0\\\\x^2=t,\ \ \ t>0\\\\t^2+2\sqrt{2}t+2=0\\\\a=1\\b=2\sqrt{2}\\c=2\\\\\Delta= b^2-4ac=(2\sqrt{2})^2-4\cdot 1\cdot 2=8-8=0\\\\t_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-2\sqrt{2}}{2\cdot 1} =\frac{-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}\\\\Wracamy\ do\ podstawienia\ x^2=t\\\\x^2=-\sqrt{2}\implies sprzecznosc$

Tutaj również otrzymaliśmy sprzeczność, więc to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

ODP.: $x\notin R$

Przykład h

$9x^4+17x^2-2=0\\\\x^2=t, \ \ \ t>0\\\\9t^2+17t-2=0\\\\a=9\\b=17\\c=-2\\\\\Delta = b^2-4ac=17^2-4\cdot 9\cdot (-2)=289+72=361>0\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{361}=19\\\\t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-17-19}{2\cdot9} =\frac{-36}{18}=-2\\\\t_2= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-17+19}{2\cdot9} =\frac{2}{18}=\frac{1}{9} \\\\Wracamy\ do\ podstawienia\ x^2=t\\\\x^2=-2\implies sprzecznosc\ \ \ \vee\ \ \ x^2=\frac{1}{9} \implies x=\frac{1}{3}\ \ \ \vee \ \ \ x=-\frac{1}{3}$

Wobec tego mamy dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

ODP.: $x\in \{-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\}$

Zadanie 2.

Wyjaśnienie do rozwiązania zadania znajduje się w przykładzie podanym w Twojej książce, więc od razu przejdę do przykładu.

Przykład d

$x^6+4x^3-32=0\\\\x^3=t\\\\t^2+4t-32=0\\\\a=1\\b=4\\c=-32\\\\\Delta =b^2-4ac=4^2-4\cdot1 \cdot (-32)=16+128=144>0\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{144}=12\\\\t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4-12}{2\cdot 1} =-\frac{16}{2}=-8\\\\t_2= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4+12}{2\cdot 1} =\frac{8}{2}=4\\\\Wracamy\ do\ podstawienia\ x^3=t\\\\x^3=-8\implies x=-2\ \ \ \vee\ \ \ x^3=4\implies x=\sqrt[3]{4}$