Question

Matematyka Pazdro poziom rozszerzony:

Wykaż, że jeśli liczby całkowite a,b,c przy podzieleniu przez 4 dają odpowiednio reszty 1,2,3, to reszta z dzielenia sumy kwadratów tych liczb jest równa 2.

Answer 1

zał.: a=4n+1 i b=4k+2 i c=4t+3 ,gdzie n∈C i k∈C i t∈C

teza: a²+b²+c²=4w+2 ,gdzie w∈C

dowód:

(4n+1)²+(4k+2)²+(4t+3)²=

=16n²+1+8n+16k²+4+16k+16t²+9+24t=

=16n²+16k²+16t²+8n+16k+24t+14=

=4(4n²+4k²+4t²+2n+4k+6t+3)+2

 

4n²+4k²+4t²+2n+4k+6t+3=w

(4n²+4k²+4t²+2n+4k+6t+3)∈C