Question

Mam takie o zadanie:

Jaka była ostatnia cyfra liczby wyniku działania:

10^128 - 7^82 + 9^114?

Wiem, że w tym zadaniu musi być jakiś inny sposób niż liczenie tych ogromnych liczb, wię prosiłabym Was o roziązanie mi tego i wytłumaczenie.

Z góry dziękuję (^=do potęgi) ;)

Answer 1

Gdy potęgujemy liczby to dwie ostatnie cyfry potęgowania z czasem się powtarzają:
7^ 0 = 1

7^ 1 = 7

7^ 2 = 49

7^ 3 = 43

7^ 4 = 01

7^ 5 = 07

etc...

Przy potęgowaniu 7 dwie ostatnie cyfry powtarzają się co 4 potęgę

 

9^0= 1

9^1= 9

9^2= 81

9^3= 29
9^4= 61
9^5= 49
9^6= 41
9^7= 69
9^8= 21
9^9= 89
9^10= 01
Przy potęgowaniu 9 dwie ostatnie cyfry powtarzają się co 10 potęgę

 

10^128 = 00 - dwie ostatnie liczby

teraz uzyskuję resztę z dzielenia(dzielenie modulo) 82 przez 4
82 mod 4 = 2

czyli dwie ost. cyfry 7^82 = 7^2 = 49

 

teraz tak samo robię z 9^114

114 mod 10 = 4

9^4 = 61

 

00 - 49 + 61 = 12

 

ostatnia cyfra wyniku tego działania to 2

Answer 2

sprawdzamy ostatnie cyfry każdej z tych liczb z osobna.

10 podniesione to obojętnie jakiej potęgi ma cyfrę jedności 0. Rozpatrzymy sobie teraz jakie są cyfry jedności z pierwszych pięciu potęg 7, są to kolejno

7,9,3,1,7. powtarzją się one więc w cyklu co 4. 82 potęga będzie więc kończyć się cyfrą 9. Teraz to samo robimy z 9, wypisujemy końcówki pierwszych trzech potęg mamy: 9,1,9 tym razem wystarczyło rozpatrzyć 3 kolejne potęgi i widać, że cyfry jedności powtarzają się w cyklu co 2. stą 114 potęga 9 będzie się kończyć cyfrą 9. Teraz przepisujemy nasze działanie ale już na samych cyfrach jedności mamy:

 

0-9+9=0 więc cyfra jedności wyniku tego działania to 0.