Mam problem z zadaniem a wląściwie ćwiczeniem z 2 klasy Technikum dział "Geometria analityczna" a je.... Question from @Paulels

December 2018 1 23 Report

Mam problem z zadaniem a wląściwie ćwiczeniem z 2 klasy Technikum dział "Geometria analityczna" a jego treść jest :

Trójkąt rownoramienny ABC jest wpisany w okrąg (x+2) $^{2}$ + (y-2) $^{2}$ =20
Wyznacz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta, jeśli jego podstawa AB jest zawarta w prostej y= $\frac{1}{2}$ x+3

Proszę o rozwiązanie tego zadanie w miare tak bym to zrozumiał.

heheheh12 Wyznaczamy punkty wspólne prostej i okręgu.
$\left \{ {{(x+2)^2+(y-2)^2=20} \atop {y=\frac{1}{2}x+3}} \right. \\ \\ (x+2)^2+(\frac{1}{2}x+3-2)^2=20 \\ (x+2)^2+(\frac{1}{2}x+1)^2=20 \\ x^2+4x+4+\frac{1}{4}x^2+x+1=20 \\ \frac{5}{4}x^2+5x+5=20 \\ \frac{5}{4}x^2+5x-15=0 \\ a=\frac{5}{4} \\ b=5 \\ c=-15 \\ \Delta=5^2-4 \cdot \frac{5}{4} \cdot (-15)=25+75=100 \\ \sqrt{\Delta}=10 \\ \\ x_1=\frac{-5-10}{2 \cdot \frac{5}{4}}=-15 \cdot \frac{4}{10}= -6 \\ x_2=\frac{-5+10}{2 \cdot \frac{5}{4}}=5 \cdot \frac{4}{10}=2$

$y_1=\frac{1}{2} \cdot (-6) + 3= -3+3=0 \\
y_2=\frac{1}{2} \cdot 2 +3 =1+3=4$

Punkty te mają współrzędne (-6,0) i (2,4).
Oznaczmy punkt C(x,y).
Jest to trójkąt równoramienny, więc odcinki AC i BC są równej długości.
$\sqrt{(x+6)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2} \\ \sqrt{x^2+12x+36+y^2}=\sqrt{x^2-4x+4+y^2-8y+16} \\ x^2+12x+36+y^2=x^2-4x+y^2-8y+20 \\ 12x+36=-4x-8y+20 \\ 16x+16=-8y \\ y=-2x-2$

Punkt C leży także na okręgu. Podstawiamy y do równania okręgu, żeby znaleźć współrzędne punktu.
$(x+2)^2+(-2x-2-2)^2=20 \\
(x+2)^2+(-2x-4)^2=20 \\
x^2+4x+4+4x^2+16x+16=20 \\
5x^2+20x+20=20 \\
5x^2+20x=0 \\
5x(x+4)=0 \\
5x=0 \ \lor \ x+4=0 \\
x=0 \ \lor \ x=-4 \\ \\
x_1=0, \ x_2=-4 \\
y_1=-2 \cdot 0 -2=0-2=-2 \\
y_2=-2 \cdot (-4)-2=8-2=6$

Odpowiedź:
Punkt C może mieć współrzędne (0,-2) lub (-4,6).