Question

Mam problem. Nie wiem jak rozwiązać te zadania, a jutro mam sprawdzian i chciałbym się dowiedzieć. Spróbujcie je rozwiązać. Daję naj! :)

1.Oblicz pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości 4 cm.
2. Na okręgu o promieniu 2 cm opisano trójkąt prostokątny. Jedna z przyprostokątnych ma długość 12 . Ile wynosi pole tego trójkąta.

Proszę o obliczenia. ;)
Z góry dziękuję.

Answer 1

Trójkąt równoboczny, jest bardzo szczególnym trójkątem... jeżeli dobrze pamiętasz, istnieją do niego specjalne wzory, którymi się posługujemy. Jako, że nie mam rysunku, nie jestem wstanie ci tego ładnie zilustrować, ale spróbuje przekazać.

 

1. Do obliczenia pola jakiegokolwiek koła, potrzebny ci jest promień (r) - jeżeli dobrze sie przypatrzysz, zauważysz że promień ten zawarty jest w wysokościach naszego trójkąta. (o ile wiesz co to jest koło opisane na jakieść figurze ^^) Z pewnych obliczeń ustalono że gdy opisujemy koło na jakimś dowolnym trójkącie promień tego koła stanowi ²/₃ jego wysokości, tak więc...

 

a = 4 cm         h = (a√3)/2

h = ?               h = (4 cm*√3)/2

h = 2√3 cm

 

r = ²/₃h

r = ²/₃*2√3 cm = 1¹/₃√3 cm (nam się ta liczba jednak bardzo nie podoba, wiec zostawmy) = (4√3 cm)/3

 

Pole koła to: πr²

 

Pk = (4√3 cm/3)²*π = (16*3 cm²/3)*π = 16π cm²

 

 

2. Zadanie drugie jest nieco dłuższe i trudniejsze... Gdy już narysujesz trójkąt prostokątny i wpiszesz w niego koło, musisz zaznaczyć na nim trzy promienie, w każdym ptk. stycznym. Zauważysz wtedy, że w jednym miejscu powstanie kwadrat, co da ci możliwość zaznaczenia długości części twoich przyprostokątnych. Wiedząc, że jedna z przyprostokątnych ma długość 12 cm i znając jej część (te 2 cm) możesz wpisać pozostałe 10 cm do tej dłuższej przyprostokątnej (zakładamy że trójkąt ten nie jest równoramienny, potem to się sprawdzi). Teraz skorzystać musimy z efektu stycznych do koła... mówi on że styczne do koła wychodzące z jednego wierzchołka (w tym przypadku wierzchołka naszego trójkąta) muszą mieć tę samą długość. Z tad 10 cm możesz wpisać również na przeciwprostokątnej (tej części od wierzchołka, aż do punktu styczności). Korzystając z tego samego efektu, masz teraz pewność, że pozostałe dwa odcinki (kawałek krótszej przyprostokątnej, oraz przeciwprostokątnej) mają tę samą długość. Teraz możesz skorzystać z twierdzenia pitagorasa w następujący sposób:

 

(2cm+x)² + (12cm)² = (10cm+x)²

(2cm+x)*(2cm+x) + 144cm² = (10cm+x)*(10cm+x)

x²+4x+148cm² = x²+20x+100cm²  /-x²

4x+148cm² = 20x+100cm²  /- 100cm²; -4x

16x = 48 cm / 16

x = 3 cm

 

Wiemy teraz że przyprostokątne to:

a = 2 cm + 3 cm = 5 cm

b = 12 cm

... oraz przeciwprostokątna: c = 10cm + 3cm = 13 cm

 

Oczywiście nie jest on już nam potrzebna bo pole to wynik mnożenia przyprostokątnych. ^^

 

P= 5 cm* 12 cm = 60 cm² XD [ tak jak w komentarzu... ten wynik musi być podzielony przez 2, co za tym idzie 60 cm2/2 = 30 cm2 - i to jest juz na pewno wynik poprawny :PP]

 

ps. w zalączniku masz rysunek