Question

Mam prośbę o rozwiązanie dwóch zadań...

1)Dwoma wierzchołkami kwadratu ABCD są punkty A(1,1), B(0,8). Wyznacz współrzędne wierzchołków C i D, wiedząc, że jest on wpisany w okrąg o środku S(4,-3). Napisz równanie tego okręgu...

2) Punkty A(0,-5) oraz D(-3,-1) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, którego osią symetrii jest prosta k:x+2y=0 Oblicz:

a) wspólrzędne wierzchołków B i C

b) pole tego trapezu

Answer 1

z.1

 Sprzeczne dane

 Powinno być   S = ( -3; 4)     lub  S = ( 4; 5), aby  AB  był bokiem kwadratu ABCD.

Rozwiążę zadanie dla  S = ( -3; 4)

Mamy

A = ( 1; 1) , B = ( 0; 8)

Punkt  C jest symetryczny do punktu A  względem punktu S, zatem

S jest środkiem odcinka AC

Mamy

C = ( x1; y1)

( 1 + x1)/2 = - 3     i      ( 1 + y1)/2 = 4

1 + x1 = - 6            i         1 + y1 = 8

x1 = - 7                  i              y1 = 7

C = ( - 7 ; 7 )

=============

Niech D = ( x2; y2)

D  jest symetryczny do B  względem punktu S = ( -3; 4),

zatem S  jest środkiem odcinka BD

Mamy

( 0 + x2)/2 = -3           i              ( 8 + y2)/2 = 4

x2 = - 6                       i                8 + y2 = 8

x2 = - 6                       i                      y2 = 0

D = ( - 6; 0 )

================

Równanie okręgu opisanego na kwadracie ABCD:

r = I AS I

zatem

r^2 = I AS I^2 = ( -3 -1)^2 + ( 4 - 1)^2 = ( -4)^2 +3^2 = 16 + 9 = 25

więc

r = 5

S = ( -3; 4)

Korzystamy z wzoru  - równania okręgu:

( x - a)^2 + ( y - b)^2 = r^2

gdzie  ( a; b) = S  - środek okręgu ,  r  - promień okręgu

Mamy

( x - (-3))^2 + ( y - 4)^2 = 5^2

Odp.

( x + 3)^2 + ( y - 4)^2 = 25

=============================

-------------------------

z.2

a)

A = ( 0; -5)

D = (-3; -1)

k :  x + 2y = 0  =>   y = ( -1/2) x

 

Przez  punkt A  prowadzę prostą prostopadłą do pr k:

( -1/2)*a2 = - 1  

czyli   a2 = 2

y = 2 x + b1

Wstawiam 0 za x  i  ( -5) za y:

- 5 = 2*0 + b1

b1 = - 5

y = 2 x - 5

================

Znajduję punkt wspólny tych prostych:

y = ( -1/2) x

y = 2x - 5

--------------------

( -1/2) x = 2x - 5

- x = 4x - 10

5x = 10

x = 2

------

y = 2*2 - 5 = - 1

-------------------------

czyli  S1 = ( 2; - 1)

Punkt S1  jest środkiem odcinka AB

Niech  B = (x1; y1)

zatem

( 0 + x1)/2 = 2    i   ( - 5 + y1)/2 = - 1

x1 = 4                i     - 5 + y1 = - 2

x1 = 4                i             y1 = 3

B = ( 4; 3)

===========

Przez punkt D = ( -3; -1)  prowadzę prostą  prostopadłą do prostej k:

( -1/2) a3 = - 1

a3 = 2

y = 2 x + b3

Wstawiam  ( -3) za x  i  ( - 1) za y :

- 1 = 2*(-3) + b3

- 1 + 6 = b3

b3 = 5

y = 2 x  + 5

===========

Znajduję punkt wspólny prostej k   i  prostej  CD

y = ( -1/2) x

y = 2 x + 5

-------------------

( -1/2) x = 2 x + 5

 - x = 4 x + 10

5 x = - 10

x = - 2

---------------

y = 2*( -2) + 5 = - 4 + 5 = 1

---------------------------------------------------

S2 = ( - 2; 1) )

===================

S2  jest środkiem odcinka CD

Niech  C = ( x2; y2 )

zatem

( - 3 + x2)/2 = - 2      i        ( -1 + y2)/2 = 1

-3 + x2 = - 4              i          - 1 + y2 = 2

x2 = - 1                     i                 y2 = 3

C = ( - 1; 3)

=================

Odp.  B = ( 4; 3),  C = ( -1; 3)

b)

Prosta  k  jest prostopadła do podstaw, zatem  h = I S1 S2 I

S1 = ( 2; - 1) ,  S2 = (- 2; 1)

h^2 = I S1 S2 I^2 = ( - 2 -2)^2 + ( 1 - (-1))^2 = (-4)^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 = 4*5

czyli

h = 2 p(5)

============

a = I AB I,  b = I CD I

A = ( 0; -5) .  B = ( 4; 3)  ,  C = ( - 1; 3), D = ( -3; -1)

a^2 = ( 4 - 0)^2 + ( 3 - (-5))^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80 = 16*5

a = 4 p(5)

============

b^2 = ( - 3 - (-1))^2 + ( - 1 - 3)^2 = ( -2)^2 +( -4)^2 = 4 + 16 = 20 = 4*5

b = 2 p(5)

==============

Pole trapezu

P = 0,5 *[a +b]* h

P = 0,5*[ 4 p(5) + 2 p(5)] * 2 p(5) = 6 p(5) * p(5) = 6*5 = 30

==================================================

p(5)  - pierwiastek kwadratowy z  5