Question

Mam obliczyć zbieżność ciągu, dlaczego x0=n???

Answer 1

Zbiezność jednostajna. Ze wzrostem n, zmienia się wzór badanej funkcji, bo ta zalezy od n. W zbieżności jednostajnej sprawdza się jak zmienia się różnica miedzy badaną funkcja, a wyliczona funkcja zerowa z granicy punktowej, ze wzrostem n
Funkcja badana to fn(x,n) = x/(n+1)
Funkcja graniczna wyszla fg(x) = 0
Różnice miedzy funkcjami przyjmuje się (dla wybrania pewnej miary zróżnicowania) najwiekszą możliwa różncę miedzy wartosciami funkcji (sposrod wszsytich wartosci obliczonych dla x-ow). To jest to sup. Takie różnice można wyliczać dla kolejnych n. Interesujące jest jak te różnice się zmieniają dla wzrastajacych n. Np dla n = 1, fn = x/2, fg = 0, fn - fg = x/2 jest nieograniczona, wiec roznica jest nieskonczonosc. Dla n = 2: fn = x/3, fg = 0, roznica fn - fg = x/3, znowu funkcja nieograniczona, itd. Widac ze na kazdym kroku otrzymuje sie róznicę nieskończoną. fn powinna zbiegac do fg, czyli roznica (taka jaka została przyjeta, czyli sup po x-ach) fn-fg powinna zbiegac do 0, ale nie zbiega. Nalezy to jakos pokazac. "x0=n" jest jednym ze sposobow. Roznice miedzy funkcjami okazują sie byc niezbieżne do 0, jezeli na kazdym kroku (czyli określaniu róznicy dla ustalonego n) do policzenia roznicy wybierałbym x = n (ciag n/n+1 jest zbiezny do 1). Równie dobrze można byłby przyjac x=n+1 (ciag n+1 / n+1 jest równy 1 ) Albo mozna wziaść x=n^2 i wtedy widac, ze jest jeszcze gorzej, ciag jest rozbiezny do nieskonczonosci ( n^2 / n+1 jest rozbiezny do nieskonczonosci). Kazdy z tych sposobów pokazuje brak zbieżnosci jednostajnej.