Question

Macie w załączniku pięć zadań. Są one dość trudne, dlatego daję aż tyle punktów. Rozwiążcie jak najwięcej do 10 lutego.

Wszelkiego typu spam, błędne odpowiedzi itd. będę zgłaszał.

Answer 1

Niestety bez 5 zadania, ale jeszcze nad nim pomyślę i spróbuję dodać rozwiązanie:

1)
Niech c = 2009^9

mamy:
f(x) = ax+b
f(a) = cb
f(b) = ca

f(a) = aa+b = cb, czyli
aa = (c-1)b

f(b) = ab+b = ca
b(a+1) = ca
b = ca / (a+1)

Wstawiamy b do aa = (c-1)b
aa = (c-1) * ca / (a+1) | /a
a = c(c-1) / (a+1)
a(a+1) = c(c-1)
aa + a - c(c-1) = 0
Mamy równanie kwadratowe na a, łatwo sprawdzić, że ma ono 2 rozwiązania (bo delta > 0)
Czyli mamy dwie możliwe wartości a, ze wzoru b = ca / (a+1) wyliczamy b.
Czyli są 2 takie funkcje


2)
Niech x = 2^2008
Mamy pokazać, że: 2^(2x) > (2x po x)

Pokażę, że dla każdego n zachodzi: 2^(2n) > (2n po n)

Dowód indukcyjny: dla n=1 mamy:
2^(2n) = 2^2 = 4 > 2 = (2 po 1) = (2n po n) --- OK!

Teraz założenie indukcyjne: 2^(2n) > (2n po n)
Teza indukcyjna: 2^(2n+2) > (2n+2 po n+1)
Dowód:

(2n po n) = (2n)*(2n-1)*...*(n+1) / (1*2*...*n)

(2n+2 po n+1) = (2n+2)*(2n+1)*(2n)*(2n-1)*...*(n+2) / (1*2*...*n*(n+1)) =
= (2n+2)*(2n+1)*(2n)*(2n-1)*...*(n+2)*(n+1) / (1*2*...*n*(n+1)*(n+1)) =
= (2n)*(2n-1)*...*(n+1) / (1*2*...*n) * (2n+2)*(2n+1)/((n+1)*(n+1)) =
= (2n po n) * 2*(2n+1) / (n+1) =
= (2n po n) * (4n+2) / (n+1) < 2^(2n) * (4n+4) / (n+1) = 2^(2n) * 2 = 2^(2n+2)
Koniec dowodu indukcyjnego!

Zatem w szczególności, gdy przyjmiemy, że n = x to otrzymujemy tezę!



3) Taka liczba nie istnieje!
Liczba która jest kwadratem liczby naturalnej, z dzielenia przez 4 daje resztę 0 lub 1.
Można to sprawdzić badając kwadraty liczb postaci: (4k + r) dla r=0, 1, 2 i 3
(4k + r)^2 = 16kk + 8k + r^2
Reszta z dzielenia tego kwadratu przez 4 jest taka sama, jak reszta z dzielenia r^2 przez 4
Dla r=0 mamy resztę 0
dla r=1 mamy resztę 1
dla r=2 mamy resztę 4, czyli 0
dla r=3 mamy resztę 9, czyli 1

Zatem zawsze kwadrat liczby naturalnej przy dzieleniu przez 4 daje 0 lub 1

W poniższym zapisie znak = (równa się) będzie oznaczał przystawanie modulo 4 (czyli że przy kolejnych przekształceniach reszty z dzielenia przez 4 są takie same)
Nasza liczba:
n^4 + 4n^3 + 7n^2 + 3 = (odejmujemy 4n^3 - reszta się nie zmienia, bo 4n^3 jest podzielne przez 4)
n^4 + 7n^2 + 3 = (odejmujemy 4n^2)
n^4 + 3n^2 + 3 =...

Jeśli n jest parzyste, to n^4 i 3n^2 są podzielne przez 4, czyli cała reszta wychodzi 3 (od tego składnika na końcu)
Gdy n jest nieparzyste, to reszta z dzielenia n^4 przez 4 wychodzi 1, podobnie reszta z dzielenia n^2 wychodzi 1
czyli:
n^4 + 3n^2 + 3 =
= 1 + 3*1 + 3 = 7 = 3
Czyli w tym przypadku reszta z dzielenia naszej liczby przez 4 wychodzi 3.
Zatem zawsze reszta z dzielenia tej liczby przez 4 wychodzi 3, a taka liczba nie może być kwadratem liczby naturalnej!


4)
W(x) = (x^2009 + x^2008 + ... + x + 1)^3

Wielomian ma 3 czynniki, z każdego z nich możemy wybrać sobie jednego x, w taki sposób, aby wykładniki tych wybranych sumowały się do 2009
Zróbmy tak:
W(x) = (x^2009 + x^2008 + ... + x + 1) * (x^2009 + x^2008 + ... + x + 1) * (x^2009 + x^2008 + ... + x + 1)

Z pierwszego nawiasu wybieramy x^2009 - w tym przypadku z drugiego i trzeciego musimy wybrać 1 (1 możliwość)

Teraz z pierwszego nawiasu wybieramy x^2008 - w pozostałych nawiasów musimy wybrać w sumie 1, możemy to zrobić na 2 sposoby:
z drugiego nawiasu x^1 i z trzeciego 1 lub z drugiego nawiasu 1 i z trzeciego x^1

Kolejny krok: z pierwszego nawiasu wybieramy x^2007 - z dwóch pozostałych możemy wybrać w sumie x^2
Są trzy możliwości: x^2 i 1 - x^1 i x^1 - 1 i x^2

...

W ostatnim kroku wybieramy 1 z pierwszego nawiasu:
Z drugiego i trzeciego musimy wybrać x^2009
Mamy 2010 takich możliwości:
z drugiego x^2009 i z trzeciego x^0
z drugiego x^2008 i z trzeciego x^1
z drugiego x^2007 i z trzeciego x^2
...
z drugiego x^0 i z trzeciego x^2009


W sumie mieliśmy 2010 kroków, w pierwszym 1 możliwość, w drugim 2, w trzecim 3,... w ostatnim 2010

Zatem w sumie mamy 1 + 2 + 3 + ... + 2010 = 2010 * (1 + 2010) / 2 = 1005 * 2011 = 2021055