Question

Dla jakich wartości parametru m nierówność x²(m²+m-6)/(m²-1) +x(m+1)- (m²-1)/(m+3)>0 jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej x? Jest to zadanie z działu o funkcji wymiernej. Proszę o dokładną odpowiedź, z góry dziękuję :)

Answer 1

Dla jakich wartości parametru m nierówność x²(m²+m-6)/(m²-1) +x(m+1)- (m²-1)/(m+3)>0 jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej x? Jest to zadanie z działu o funkcji wymiernej.

x²(m²+m-6)/(m²-1) +x(m+1)- (m²-1)/(m+3)>0

Musza być spełnione nastepujące warunki:
( współczynnik przy x² musi być dodatni)

1)(m²+ m -6)/(m² -1) >0
2) (m² -1)
3) m + 3 ≠ 0
4) Δ < 0 ( gdy Δ < 0 , to brak pierwiastków, wykres nie przecina osi Ox tylko leży nad osią Ox i przy dodatnim współczynniku przy x² ramiona musi mieć skierowne w górę

Rozwiazuję 1) warunek ( najpierw rozkładam na czynniki liniowe licznik)
(m²+m-6)/(m² -1) >0

Δ= 1² -4*1*(-6) = 1 + 24 = 25
√Δ = √25 = 5
m1 = (-1 -5): 2*1 = (-6) :2 = -3
m2 = (-1 +5) : 2*1 = 4 : 2 = 2
[( m +3)( m-2)] / [( m-1)( m+1) > 0
zamiast dzielenia stosuje przy nierówności mnożenie
(m+3)( m-2)(m-1)(m+1) > 0
m ∈ ( -∞, -3) ∨ ( -1, 1) ∨ ( 2, + ∞)

obliczam 2) warunek
(m² -1) ≠ 0
(m-1)(m+1) ≠ 0
m -1 ≠ 0 lub m +1 ≠ 0
m ≠ 1 lub m ≠ -1

Obliczam 3) warunek
m + 3 ≠ 0
m ≠ -3

Obliczam 4) warunek
x²(m²+m-6)/(m²-1) +x(m+1)- (m²-1)/(m+3)>0

a = (m²+m-6)/(m²-1)
b = (m +1)
c = - (m²-1)/(m+3)
Δ = b² -4*a*c
Δ < 0
b² -4*a*c < 0
( m +1)² - 4*[(m²+m-6)/(m²-1)]*[- (m²-1)/(m+3)] < 0

( m +1)² - 4 [ (m +3 )( m-2)/ ( m² -1)]*[ -(m² -1)/ (m +3)] < 0

wspólny mianownik to: (m² -1)( m+3)

{(m+1)²*(m² -1)(m +3) -4(m+3)(m-2)*[-(m² -1)]} : [( m² -1)(m +3)] < 0

wyłączam wspólna część ( czyli : (m² -1) ( m+3) przed nawias
(m² -1)(m+3)[ (m + 1)² + 4(m -2) ] : [( m² -1)( m+3)] < 0
(m² -1)( m+3)[m² +2m +1 + 4m -8] : [(m² -1)(m +3)] < 0
(m² -1)( m+3)[m² +6m -7] : [(m² -1)(m +3)] < 0

m² +6m -7 = (m-1)( m +7)

[(m² -1)(m+3)(m-1)(m+7)] : [(m² -1)(m +3)] < 0

zamiast mnożenia stosuję mnożenie
(m² -1)(m+3)(m-1)(m+7)(m² -1)(m +3) < 0
(m-1)(m+1)(m+3)(m-1)(m+7)( m-1)(m+1)( m+3) < 0

porzadkuję wielomian
(m-1)(m-1)(m-1)(m+1)(m+1)(m+3)(m+3)(m+7) < 0
(m-1)³ (m+1)² (m+3)² (m+7) < 0
Obliczam pierwiastki
(m-1)³ = 0 lub (m+1)² = 0 lub (m+3)² = 0 lub m +7 = 0
m= 1(3) lub m = -1(2) lub m = -3 (podwójny) lub m = -7

zaznaczam pierwistkina osi Ox i rysuje krzywą rozpoczynając od prawej stony od góry nad osią OX, przechodzącą przez pierwiastki, w przypadku pierwiastków podwójnyvh (2) krzywa nie przecina osi OX
Rozwiazaniem warunku 4)jest :
m ∈ ( -7, -3)∨ ( -3, -1)∨ ( -1,1)

teraz określam wspólną część 1),2),3),4) warunku

m∈ ( -7, -3) ∨ (-1, 1)