Wyznacz liczbę "a", dla której zbiorem rozwiązań danej nierównośći jest zbiór podany obok tej nierów.... Question from @wioskowik

Dawid1987Gumis

Szkoła średnia

Dział Nierówności liniowe z parametrem

$I)$

Rozwiązujemy nierówność:

$-x+4\geq 2x+a\\-x-2x\geq a-4\\-3x\geq a-4\vline :(-3)\\x \leq \dfrac{4-a}{3}\\x\in \left(-\infty, \dfrac{4-a}{3}\right]=(-\infty, -3]$

Wobec powyższego zarówno prawe jak i lewe końce przedziału muszą być równe.

W takim razie:

$\dfrac{4-a}{3}=-3\vline \cdot 3\\4-a=-9\\\boxed{a=13}$

$II)$

Rozwiązujemy nierówność:

$-4(x+a)<12\\-4x-4a<12\\-4x<12+4a\vline :(-4)\\x>-3-a\\x\in (-3-a, \infty)=(-2, \infty)$

Wobec powyższego zarówno prawe jak i lewe końce przedziału muszą być równe.

W takim razie:

$-3-a=-2\\-a=-2+3\\-a=1\vline :(-1)\\\boxed{a=-1}$

$III)$

Rozwiązujemy nierówność:

$2(x-a)>3(x+a)\\2x-2a>3x+3a\\2x-3x>3a+2a\\-x>5a\vline:(-1)\\x<-5a\\x \in (-\infty, -5a)=(-\infty, 10)$

Wobec powyższego zarówno prawe jak i lewe końce przedziału muszą być równe.

W takim razie:

$-5a=10\vline :(-5)\\\boxed{a=-2}$

$IV)$

Rozwiązujemy nierówność:

$3(2x-a) \leq 6(1+x)\\6x-3a \leq 6+6x\\6x-6x\leq 6+3a\\3a+6 \leq 0\\3a \leq -6\vline :3\\\boxed{a \leq -2}$

W tym przypadku mamy od razu wynik, ponieważ rozwiązaniem podanej nierówności ma być każda liczba rzeczywista, zatem o ile tylko końcowa nierówność jest prawdziwa, to są spełnione warunki zadania.

$V)$

Rozwiązujemy nierówność:

$4x-1\leq ax+1\\4x-ax \leq 2\\x\cdot (4-a)\leq 2$

Zauważmy teraz, że dla $a=4$ nierówność jest spełniona. Przypuśćmy, że $a\not=4,$ wówczas zbiór rozwiązań nierówności jest ograniczony (z góry lub z dołu), przez co nie spełnia warunków zadania. Wobec tego jedynym rozwiązaniem jest $a=4.$

$VI)$

Rozwiązujemy nierówność:

$ax+2 \geq x-10\\ax-x\geq -10-2\\x \cdot (a-1) \geq -12$

Zauważmy teraz, że dla $a=1$ nierówność jest spełniona. Przypuśćmy, że $a\not =1.$ Niech $a<1,$ wtedy:

$x \cdot (a-1) \geq -12\vline :(a-1)\\x \leq \dfrac{-12}{a-1}$

Wówczas zbiór rozwiązań nie spełniałby warunków zadania, gdyż byłby ograniczony z góry. W takim razie pozostaje nam rozważyć przypadek $a>1:$

$x \cdot (a-1) \geq -12\vline :(a-1)\\x \geq \dfrac{-12}{a-1}\\x \in \left[\dfrac{-12}{a-1}, \infty\right)=[-6, \infty)$

Wobec powyższego zarówno prawe jak i lewe końce przedziału muszą być równe.

W takim razie:

$\dfrac{-12}{a-1}=-6\vline \cdot (a-1)\\-6(a-1)=-12\\-6a+6=-12\\-6a=-12-6\\-6a=-18\vline :(-6)\\\boxed{a=3}$

2 votes Thanks 2

para spodni i bluza kosztują tyle samo. Jeśli spodnie tanieją o 4%, zaś buzy zdrożeją o 12%, to o ile procent więcej niż obecnie trzeba będzie zapłacić za 2 pary spodni i jedną bluzę?

Uprawa pszenicy powoduje ubytek ok.70 kg azotu z gleby na hektar. Oblicz kwotę, jaką mus wydać właściciel 10-hektarowego pola na zakup nawozu zawierającego 32%(procent masowy) azotu, aby uzupełnić roczny ubytek tego pierwiastka? przyjmij, że cena 1 tomy nawozu wynosi 800 złotych

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social