Question

LOGIKA

1. Prawdziwe jest zdanie: Nieprawda ,że jeśli Platon założył
Akademię,to jeśli Arystoteles był uczniem Platona, to Arystoteles nie
uczęszczał do Akademii.Czy na podstawie tej informacji można udzielić
odpowiedzi na poniższe pytania(jeśli tak, to podaj te odpowiedzi): a)Czy
Platon założył Akademię?
b) Czy Arystoteles był uczniem Platona? c) Czy Arystoteles uczęszczał do Akademii.

2. Sprawdź czy podane wyrażenie jest tautologią
[~(p <-> q)] <-> [(~p v q) ^ (~q v p)]

4. Zastosuj prawa de Morgana do uzupełnienia poniższych zdań:
a) ab = 0 <-> (a=0 v b=0)
ab 0 <-> .....

b) 6|n <-> (3|n ^ 2|n)
6|n <-> ....

Answer 1

1)
p - Platon założył Akademię
q - Arystoteles był uczniem Platona
r - Arystoteles nie uczęszczał do Akademii

Nasze zdanie to
~[p => (q => r)]
Wiemy, że jest prawdziwe
Zatem samo p => (q => r) musi być fałszywe (bo wtedy dostaniemy zaprzeczenie nieprawdy czyli prawdę)
Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy
Mamy zatem, że p jest prawdziwe, a q => r fałszywe
i znowu q => r fałszywe czyli q prawdziwe, r fałszywe

czyli odpowiedź:
a) tak b) tak c) tak

2)
pierwszy przypadek: p i q są prawdziwe
p = 1, q = 1
wtedy p <=> q ma wartość 1
~(p<=>q) ma wartość 0
zajmijmy się teraz drugą stroną równoważności czyli 
(~p v q) ^ (~q v p) 
od początku q = 1 więc ~p v q ma wartość 1
tak samo dla ~q v p
czyli mamy koniunkcję, oba wyrażenia z wartością logiczną 1, zatem koniunkcja też ma wartość 1. Czyli dostajemy równoważność zdania nieprawdziwego z prawdziwym, zatem nasza całość nie jest tautologią, bo pierwszy sprawdzany przez nas przypadek już się nie zgadza. Zatem pozostałych nie trzeba sprawdzać

3)
ab różne od 0 <=> a różne od 0    ^     b różne od 0
6 nie dzieli n <=> 3 nie dzieli n     v     2 nie dzieli n