logarytmy, zad 12b.... Question from @agnieszka1005

October 2018 1 23 Report

logarytmy, zad 12b

Kiedy mamy sumę ciągu geometrycznego postaci: 1 + q + q^2 + q^3 + ..., to możemy ją obliczyć jako:

$S = \dfrac{a_1}{1-q}$

gdzie a1 to pierwszy sumowany wyraz ciągu, zaś q to mnożnik przez który mnożymy każdy kolejny wyraz (nazywany ilorazem ciągu geometrycznego). Oczywiście ciąg jest nieskończony, więc abyśmy nie dostali nieskończoności jako wynik, wartość q musi być większa od -1 i mniejsza od 1.

W przykładzie tym widzimy, że pierwszym wyrazem ciągu jest 1, zaś każdy kolejny jest poprzednim pomnożonym przez log x. Są to po prostu kolejne potęgi logarytmu. Wystarczy teraz podstawić a1 = 1 oraz q = log x do wzoru i otrzymujemy równanie:

$\dfrac{1}{1-\log(x)} = \dfrac{2}{3}$

Teraz możemy rozwiązać to równanie:

$1-\log(x) = \dfrac{3}{2}$

$\log(x) = 1-\dfrac{3}{2}$

$\log(x) = -\dfrac{1}{2}$

Teraz wiedząc, że logarytm i funkcja wykładnicza są odwrotne do siebie (pamiętajmy, że jeśli nie podajemy podstawy logarytmu to domyślnie zakładamy logarytm o podstawie 10):

$10^{\log(x)} = 10^{-\frac{1}{2}}$

$x =10^{-\frac{1}{2}} =\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

Można jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, ale nie jest to konieczne.

b) Przykład b robimy analogicznie.

Widzimy, że pierwszy wyraz ciągu a1 = log_2(x), zaś każdy kolejny jest przemnożony przez kwadrat tego logarytmu, czyli q = [log_2(x)]^2. Stosujemy ten sam wzór:

$\dfrac{\log_2(x)}{1-\log_2^2(x)} = \sqrt{2}$

Oznaczymy sobie logarytm jako "a" dla wygody (a = log_2(x)):

$\dfrac{a}{1-a^2} = \sqrt{2}$

$a = \sqrt{2}(1-a^2)$

$\sqrt{2}a^2 + a - \sqrt{2} = 0$

Mamy więc równanie kwadratowe na wartość "a". Rozwiążmy to równanie otrzymując dwa rozwiązania:

$a = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

oraz:

$a = -\sqrt{2}$

Czyli mamy dwa rozwiązania:

$\log_2(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\log_2(x) = -\sqrt{2}$

Widzimy jednak, że drugie równanie trzeba odrzucić. Już mówię czemu. Jak już zauważyliśmy, wartość "q" dla tego ciągu jest kwadratem tego logarytmu i musi być ona w przedziale -1 do 1, bo inaczej przytoczony wzór na początku nei działa. Kiedy policzysz kwadrat drugiego rozwiązania, otrzymasz wartość większą niż 1, co nie spełnia wymogów. Dlatego musimy zadowolić się pierwszym rozwiązaniem:

$\log_2(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

co daje:

$x = 2^\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dziedzina dla obu przykładów:

a) W przykłądzie pierwzym wartość x musi być większa od 0, bo logarytm jest zdefiniowany tylko dla dodatnich wartości argumentu. To narzuca pierwszy warunek na dziedzinę. Drugi warunek - znacznie mocniejszy to konieczność ograniczenia wartości logarytmu tak aby suma ciągu geometrycznego była skończona, czyli:

$-1 < \log(x) < 1$ co daje:

$10^{-1} < x < 10$

czyli dziedzina równania:

$D = \left(\dfrac{1}{10};10\right)$

b) W drugim przypadku także x nie może być ujemne aby usatysfakcjonować logarytm, ale jednoczesnie wartość "q" musi być w dozwolonym przedziale, zatem zapiszmy:

$-1 < \log_2^2(x) < 1$