Logarytmy, proszę o pomoc.... Question from @olamucha02

Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:

ZADANIE 44.

Skoro:

$log_2a=4;\ log_2b=6\\\\log_2\sqrt{ab}=log_2(ab)^\frac12=\frac12log_2(ab)=\frac12log_2a+\frac12log_2b=\frac12\cdot4+\frac12\cdot 6=\\=2+3=5$

Wykorzystano własności potęgowania i logarytmowania postaci:

$\sqrt{x}=x^\frac12\\\\log_x\sqrt y=\frac12log_xy$

I przez analogię: przekształciliśmy logarytm iloczynu liczb pod pierwiastkiem na sumę połowy tych liczb wg podanych wyżej zależności a następnie podstawiliśmy założenia z zadania :)

ZADANIE 45.

W tych równaniach korzystamy z zależności:

$a^{log_ab}=b$

pamiętając, że wartość logarytmowana musi być większa od 0. (w nawiasie logarytmu NIE MOŻE BYĆ WARTOŚCI UJEMNYCH).

A więc:

$25^{log_5(m-4)}=9\\\\m-4>0\ => m>4\\\\(5^2)^{log_5(m-4)}=9\\5^{log_5(m-4)^2}=9\\\\(m-4)^2=9\\m^2-8m+16=9\\m^2-8m+7=0\\m^2-m-7m+7=0\\m(m-1)-7(m-1)=0\\(m-1)(m-7)=0\\\\m=1\ \vee\ m=7$

Widzimy, że mamy dwa rozwiązania. ALE.... W założeniach podaliśmy, że m ma być większe od 4, zatem jedynym rozwiązaniem jest m=7

Analogicznie kolejny przykład:

$9^{log_3(m+9)}=1\\\\m+9>0\ =>\ m>-9\\\\\\(3^2)^{log_3(m+9)}=1\\\\3^{2log_3(m+9)}=1\\\\3^{log_3(m+9)^2}=1\\\\(m+9)^2=1\\m^2+18m+81=1\\m^2+18m+80=0\\m^2+10m+8m+80=0\\m(m+10)+8(m+10)=0\\(m+10)(m+8)=0\\\\m+10=0\ =>\ m=-10\\m+8=0\ =>\ m=-8$