Lim przy n do nieskończoności pierwiastek kwadratowy n(n+1)-n pod znakiem korzenia tylko n(n+1).... Question from @Leka

Alanucha $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{n(n+1)}-n\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left((\sqrt{n(n+1)}-n)\cdot\dfrac{\sqrt{n(n+1)}+n}{\sqrt{n(n+1)}+n}\right)\\\\=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(\sqrt{n(n+1)}-n)(\sqrt{n(n+1)}+n)}{\sqrt{n(n+1)}+n}$

stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

stąd mamy:
$=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n(n+1)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n})}+n}\\=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt{n^2}\cdot\sqrt{1+\frac{1}{n}}+n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}+n}\\\\=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}$

Wiemy, że
$\dfrac{1}{n}\ przy\ n\to\infty=0$
stąd:
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\dfrac{1}{1+1}=\huge\boxed{\dfrac{1}{2}}$

1 votes Thanks 1

3/2x² + 2/3x² - 7/6zdecyduj się proszę

Jako, że a+[a+b-(a-b)+3ab]-(a+b)

Jakie jest znaczenie tego widoku 7²-(-5)0+[(2)⁴+(-2)³-2¹]

Podaj współrzędne środka i promień okręgu zagrożenie równania. (x - 5)2 + (y - 4)2 = 1

Rozwiąż układ 7x+3y=33 5x-2y=7

Oblicz (c) (-2/3)^3+1

Wykonaj: a) (x+4) (x+5) b) (x4+x2-3x+1) : (x2-x-1) Umieść obliczeń pfv <3

Jak i 5 √180 + √245 .........................................

7a4-5a2-6a+11)+(-4a4+6a3-a2+10a) bardzo proszę rozwiązać

Jaką odpowiedź (3√7) 6

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social