Liczby 2x^3-5x, x^2 +x, 3x+4 w podanej kolejności są trzema początkowymi wyrazami niekończonego ciągi arytmetycznego o wyrazach całkowitych. Wyznacz x.
n-ty wyraz tego ciągu określa się wzorem:
Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 2085.
n-ty wyraz tego ciągu określa się wzorem:
Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 2085.
Odpowiedź:
2 x³ - 5 x , x² + x, 3 x + 4
2 [tex]a_2 = a_1 + a_3[/tex]
więc
2*( x² + x) = 2 x³ - 5 x + 3 x + 4
2 x² + 2 x = 2 x³ -2 x + 4 / : 2
x² + x = x³ - x + 2
x³ - x² - 2 x + 2 = 0
x²*( x - 1 ) - 2*(x - 1 ) = 0
( x - 1)*(x² - 2 ) = 0
x = 1 lub x = - √2 lub x = √2
Wyrazy mają być całkowite, więc
x = 1
=====
Mamy
[tex]a_1 = 2*1^3 - 5*1 = 2 - 5 = -3[/tex]
[tex]a_2 = 1^2 + 1 = 2[/tex]
[tex]a_3 = 3*1 + 4 = 7[/tex]
zatem r = 7 - 2 = 5
[tex]a_n = a_1 + ( n - 1)*r = - 3 + ( n - 1 )*5 = - 3 + 5 n - 5 = 5 n - 8[/tex]
[tex]a_n = 5 n - 8[/tex]
==============
[tex]S_n = 0,5*(a_1 + a_n)*n = 0,5*( - 3 + 5 n - 8 )*n = 2085[/tex]
( 5 n - 11 )*n = 2085*2
5 n² - 11 n - 4 170 = 0
Δ = 121 - 4*5*( - 4 170 ) = 121 + 83 400 = 83 521
√Δ = 289
n = [tex]\frac{11 + 289}{2*5} = 30[/tex]
Odp. [tex]S_{30} = 2 085[/tex]
======================
Szczegółowe wyjaśnienie: