Question

Kuba wykonał model ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Wysokość ściany bocznej jest nachylona do podstawy pod kątem 45 stopni, a pole powierzchni bocznej jest równe 36 pierwiastków z 2cm kwadratowych. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Proszę o rozwiązanie.

Answer 1

Kuba wykonał model ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Wysokość ściany bocznej jest nachylona do podstawy pod kątem 45 stopni, a pole powierzchni bocznej jest równe 36 pierwiastków z 2cm kwadratowych. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Proszę o rozwiązanie.

Pb = 36√2 cm²
a - krawędź podstawy ostrosłupa
b - krawędź boczna ostrosłupa
h - wysokość ściany bocznej ostrosłupa
H - wysokość ostrosłupa
α - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy
α = 45°

H, ½a i h tworzą trójkąt prostokątny równoboczny, gdyż α = 45°.
Zatem H = ½a zaś h = ½a√2.
Pb = 4Pśb
Pśb = ½ah (ściany boczne tworzą 4 przystające trójkąty równoramienne o podstawie a i ramionach b oraz wysokości h)
Pb =4*½a*½a√2
Pb = a²√2
36√2 = a²√2 /:√2
a² = 36
a = 6 cm
H = ½*6
H = 3 cm
V = ⅓*Pp*H
V = ⅓*6²*3
V = 36 cm³
Odp. Objętość ostrosłupa wynosi 36 cm³.