ktos wytlumaczy oraz rozwiaze?.... Question from @adriandeja65

March 2022 1 9 Report

ktos wytlumaczy oraz rozwiaze?

Odpowiedź:

Na początek potrzebujemy rysunku pomocniczego. Rysujemy trójkąt ABC taki, że $|AB|=3|AC|,\, |BC|=\frac{4}{5}|AB|$ . Oznaczmy $|AB|=c,\,|AC|=b,\,|BC|=a$ .

Widzimy, że $c=3b\iff b=\frac{1}{3}c=\frac{c}{3}$ oraz $a=\frac{4}{5}c$ .

Szukamy cosinusa najmniejszego kąta trójkąta ABC. Najmniejszy kąt w trójkącie zawsze leży naprzeciwko najkrótszego boku. Na naszym rysunku będzie to kąt przy wierzchołku B (naprzeciwko boku $b=\frac{1}{3}c$ ). Oznaczmy ten kąt β. Zatem nasza szukana to $\cos\beta=\,\,?$

Mamy długości wszystkich trzech boków (wyrażone w relacji do długości boku c) i szukamy cosinusa jednego z kątów. Zastosujemy zatem twierdzenie cosinusów, z którego wynika wzór:

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta$

Podstawimy $b=\frac{1}{3}c$ i $a=\frac{4}{5}c$ , a następnie wyznaczymy wartość $\cos\beta$ . Mamy

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\\\left(\frac{1}{3}c\right)^2=\left(\frac{4}{5}c\right)^2+c^2-2\cdot\frac{4}{5}c\cdot c \cdot\cos\beta\\\frac{1}{9}c^2=\frac{16}{25}c^2+c^2-\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta$

Przenieśmy wyraz z $c^2\cdot\cos\beta$ na jedną stronę, a wyrazy z samym $c^2$ na drugą:

$\frac{1}{9}c^2=\frac{16}{25}c^2+c^2-\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta\quad ||+\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta$

$\frac{1}{9}c^2+\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta = \frac{16}{25}c^2+c^2\quad ||-\frac{1}{9}c^2$

$\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta = \frac{16}{25}c^2+c^2-\frac{1}{9}c^2$

$\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta = \frac{144}{225}c^2+\frac{225}{225}c^2-\frac{25}{225}c^2$

$\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta = \frac{344}{225}c^2$

Zauważmy, że możemy podzielić obie strony przez $\frac{8}{5}c^2$ , pozbywając się w ten sposób współczynnika przed $\cos\beta$ :

$\frac{8}{5}c^2\cdot\cos\beta = \frac{344}{225}c^2\quad || : \frac{8}{5}c^2$

$\cos\beta=\frac{344}{225}: \frac{8}{5}$

$\cos\beta=\frac{344}{225}\cdot\frac{5}{8}$

$\cos\beta=\frac{43}{45}$

Jako rozwiązanie mamy podać pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku, zatem zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny:

$\cos\beta=\frac{43}{45}=0,95555\dots$