Ktory z poniższych ciągów jest ciągem arytmetycznym?A.B.C.c_n=(D.PROSZE O SZCZEGÓLOWE OBLICZENIA.... Question from @kinga198920

kinga198920 @kinga198920

September 2018 1 29 Report

Ktory z poniższych ciągów jest ciągem arytmetycznym?

A. $a_n =\frac{2}{n}+1$

B. $b_n=n^{2}-9$

C.c_n=( $\frac{4}{5})^n$

D. $d_n=(2n+3)^2-4n^{2}$

PROSZE O SZCZEGÓLOWE OBLICZENIA

Roma

Do sprawdzenia, czy dany ciąg jest arytmetyczny czy nie, wykorzystamy definicję tego ciągu: Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg o co najmniej trzech wyrazach, w którym różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu jest stała.

$a_n =\frac{2}{n}+1$

$a_{n+1} =\frac{2}{n+1}+1$

$r = a_{n+1} - a_n = \frac{2}{n+1}+1 - ( \frac{2}{n}+1) = \frac{2}{n+1}+1 - \frac{2}{n}-1 =$

$= \frac{2}{n+1}- \frac{2}{n} = \frac{2n}{n (n+1)}- \frac{2(n+1)}{n (n+1)} = \frac{2n - 2(n + 1)}{n ^2 +n} = \frac{2n - 2n -2}{n ^2 +n} = \frac{-2}{n ^2 +n}$

Zatem róznica nie jest stała dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów ciągu (an), czyli ten ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.

$b_n = n^2-9$

$b_{n+1} = (n+1)^2-9 = n^2 + 2n + 1 - 9 = n^2 + 2n - 8$

$r = b_{n+1} - b_n = n^2 + 2n - 8 - (n^2-9) = n^2 + 2n - 8 - n^2+9 = 2n + 1$

Zatem róznica nie jest stała dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów ciągu (bn), czyli ten ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.

$c_n=(\frac{4}{5})^n$

$c_{n+1} =(\frac{4}{5})^{n+1}$

$r = c_{n+1} - c_n =(\frac{4}{5})^{n+1} - (\frac{4}{5})^n = \frac{4^{n+1}}{5^{n+1}} - \frac{4^n}{5^n} = \frac{4^n \cdot 4 ^1}{5^n \cdot 5^1} - \frac{4^n}{5^n} =$

$= \frac{4^n \cdot 4}{5^n \cdot 5} - \frac{4^n}{5^n} = \frac{4^n \cdot 4}{5^n \cdot 5} - \frac{4^n \cdot 5}{5^n \cdot 5} = \frac{4^n \cdot 4 - 4^n \cdot 5}{5^n \cdot 5} = \frac{4^n \cdot (4 - 5)}{5^n \cdot 5} =$