Question

który z narysowanych graniastosłupów prawidłowych ma największe, a który najmniejsze pole powierzchni. Zapisz obliczenia. (zadanie w załączniku)

Odp:najwiekszy jest 3 a najmniejszy 2.

Answer 1

A)
Pierwsza bryła to graniastosłup prawidłowy trójkątny. Przekątna ściany bocznej tworzy z wysokością trójkąta i krawędzią podstawy trójkąt szczególny o kątach 60°, 30°, 90°. Z własności tego trójkąta -> naprzeciw kąta 60° według własności jest bok a√3, stąd:
a√3 = 9
a= 9 / √3
a= 3√3

a - to jest krawędź podstawy

Pc = 2Pp + Pb
Pole podstawy to pole trójkąta równobocznego (ze wzoru na pole trójkąta równobocznego):
Pp = 

Pole boczne składa się z trzech przystających prostokątów o krawędziach 9 i 3√3
Pb = 3*9*3√3=81√3

Pc = 2*6,75√3 + 81√3 = 94,5√3 ≈ 163,68 [j²]

b) Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat o boku 3√2.
Pp = a² = (3√2)²=18

W graniastosłup został wrysowany trójkąt prostokątny o przyprostokątnych: wysokości graniastosłupa (H), przekątnej podstawy - kwadratu (d = a√2), przekątnej graniastosłupa. Jest to także trójkąt szczególny o kątach 45° , 45°, 90°. Jest to połowa kwadratu, stąd H=d. A d wynosi:
d=(3√2)√2 = 6

H=d=6

Pole boczne składa się z czterech prostokątów przystających o bokach 3√2 i 6.
Pb = 4*3√2*6=72√2

Pc = 2*18 + 72√2 = 36 + 72√2 ≈137,82 [j²]

c) GRANIASTOSŁUP PRAWIDŁOWY SZEŚCIOKĄTNY ma w podstawie sześciokąt foremny o boku 2√3. Pole sześciokąta foremnego to 6 trójkątów równobocznych zatem korzystamy ze wzoru:

Pp =

 W graniastosłup wrysowany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych:
- odcinku w podstawie - dwie wysokości trójkąta równobocznego (
- wysokości graniastosłupa H

Wrysowany trójkąt jest prostokątny i szczególny o kątach 30°, 60°, 90°
Naprzeciw kąta 30° leży obliczony odcinek w podstawie czyli a=6
Naprzeciwko kąta 60° według zależności leży odcinek a√3, czyli 6√3
H=6√3

Pole boczne składa się z 6 prostokątów przystających o bokach 2√3 i 6√3

Pb=6*2√3*6√3 = 72*3= 216

Pc = 2*Pp + Pb = 2*18√3 + 216= 36√3 +216[j²] ≈ 278,35 [j²]

Największe pole powierzchni ma graniastosłup C
Najmniejsze - graniastosłup B