Question

Kto wytłumaczy?Na podstawie przykładów z jakimś opisem.

Na czym polega:

* określanie dziedziny funkcji (przykłady w różnym stopniu trudności)

* wyznaczanie wrozu funkcji (liniowa, równoległa, prostopadła)

* proste równoległe i proste prostapadłe przy funkcji

Z GÓRY DZIĘKI :o)))

Answer 1

1. Dziedzina funkcji.

 

Dziedziną funkcji jest zbiór liczb dla których funkcja istnieje. Jeśli liczba x wypada z dziedziny to y=f(x) nie istnieje.

 

Dla funkcji liniowej i wszystkich innych wielomianów dziedziną jest zbiór rzeczywistych.

y  = ax + b - funkcja liniowa

y = ax^n + bx^(n-1) + .... + cx + d - funkcja wielomianowa

 

Można zauważyć, że jakikolwiek x podstawisz, zawsze wyjdzie ci jakieś y, nigdy nie będzie sytuacji, że y nie da się wyliczyć.

 

____________________________________________________________

Np. weźmy funkcję y=3x+5

Jeżeli zechcesz narysować jej wykres [prosta] to zobaczysz że przebiega ona przez całą szerokość osi x od lewej do prawej. Dla każdego x jest jakaś wartość y.

 

 ___________________________________________________________

Dla funkcji wymiernych określonych np. ułamkami dziedzinę funkcji trzeba wyznaczyć gdyż niekoniecznie jest to zbiór R.

Weźmy funkcję 

Funkcja jest zapisana w postaci ułamka. W mianowniku mamy x, a wiadomo że mianownik nie może być równy 0. Zatem dla takich x gdzie mianownik równa się 0 wartośc funkcji nie istnieje, więc wypadają one z dziedziny funkcji. 

Dla tej funkcji x∈R\{0} , bo mianownik równa się 0 dla x=0

 

Mamy inną funkcję określoną ułamkiem. Mianownik to 2x-7, więc liczymy kiedy 2x-7=0 żeby wyrzucić tą liczbę z dziedziny funkcji. 

2x-7≠0

x≠3,5 --> Dla x=3,5 mianownik równa się 0 więc ta liczba wypada z dziedziny funkcji.

x∈R\{7/2}

_______________________________________________________________

Kolejny przykład to 

Wiadomo, że pierwiastek można wyciągnąć tylko z liczby która jest większa lub równa od 0. Czyli żeby wyznaczyć dziedzinę funkcji musimy sprawdzić kiedy wyrażenie pod pierwiastkiem jest większe lub równe 0.

5x-4≥0

x≥4/5

x∈<4/5,∞)

Jako że w zadanie jest oznaczone "gimnazjum" więc myślę, że tyle wystarczy o dziedzinie.

______________________________________________________________________

2. Wyznaczenie wzoru funkcji.

W gimnazjum jest omawiana tylko funkcja liniowa więc będzie o niej.

Funkcja liniowa ma postać y=ax+b

Jej wykresem jest prosta. Wiadomo też, że przez dwa punkty można poprowadzić tylko jedną prostą. Zatem mając dwa punkty należące do wykresu funkcji można wyznaczyć jej wzór.

P₁(x₁,y₁)

P₂(x₂,y₂)

Współrzędne punktów podstawiamy do wzoru y=ax+b i rozwiązujemy układ równań, wyznaczając współczynniki a i b.

_____________________________________________________________________

Weźmy przykład

Do wykresu funkcji należą punkty (2,8) oraz (5,14). Wyznacz wzór funkcji.

Podstawiamy do układu równań

Po rozwiązaniu układu równań mamy a=2, b=4

Zatem funkcja ma wzór y=2x+4

_____________________________________________________________________

Innym przypadkiem zadania na wyznaczenie wzoru funkcji może być podanie punktów przecięcia z osiami i na tej podstawie wyliczenie wzoru.

Punkt przecięcia z osią x (-b\a,0) - miejsce zerowe funkcji

Punkt przecięcia z osią y (0,b)

Wyznacz wzór funkcji jeśli miejscem zerowym funkcji jest x=-2, a oś y przecina w punkcie (0,4)

Wiemy, że przecina z osią y w punkcjie (0,b)=(0,4), zatem b=4.

Wiadomo też, że miejsce zerowe to x=-b\a ---> -2=-4/a ⇒  a=2

Funkcja ma wzór y=2x+4

____________________________________________________________

3. Proste prostopadłe i proste równoległe.

Dwie proste opisane są równaniami:

y₁=a₁x+b₁

y₂=a₂x+b₂

Proste te są równoległe tylko wtedy gdy a₁=a₂

Proste są prostopadłe tylko wtedy gdy a₁·a₂=-1

____________________________________________________________________

Wyznacz wzór funkcji liniowej równoległej do prostej y=2x+4 przechodzącej przez punkt (3,7).

Znając warunek na równoległość prostej, wiemy że szukana prosta ma postać y=2x+b oraz że należy do niej punkt (3,7). Podstawiamy punkt do równania prostej i wyliczamy b.

7=2·3+b

b=1

y=2x+1

_____________________________________________________________________

Wyznacz wzór funkcji liniowej prostopadłej do prostej y=2x+4 przechodzącej przez punkt (2,1).

Znając warunek prostopadłości prostych liczymy współczynnik a szukanej prostej.

a·2=-1

a=-1/2

Zatem prosta ma równanie y=-1/2x+b

Szukamy teraz współczynnika b. Robimy to dokładnie tak samo jak w poprzednim przykładzie.

1=-1/2·2+b

b=2

y=-1/2x+2