Question

Kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego do płaszczyzny podstawy ma miarę 60 stopni, a krawędź podstawy jest równa 6,6cm. oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa z dokładnością do 1 cm kwadratowego

Answer 1

Kat nachylenia krawedzi bocznej ostroslupa prawidlowego trojkatnego do plaszczyzny podstawy ma miare 60 stopni a krawedz podstawy jest rowna 6,6cm. Oblicz pole powierzchni calkowitej tego ostroslupa z dokladnoscia do 1 cm kwadratowego.

α = 60° - kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
a = 6,6 cm - krawedż podstawy ( krawędź trójkata równobocznego)
hp = 1/2*a*√3 - wzór na wysokość trójkata równobocznego
b - krawędź boczna ostrosłupa
H - wysokość ostrosłupa
Pc = ?

1. Obliczam wysokość h podstawy ( trójkata równobocznego)
hp = 1/2*a*√3
hp = 1/2*6,6 cm*√3
hp = 3,3*√3 cm

2. Obliczam krawędź b boczną ostrosłupa
z trójkąta prostokatnego gdzie:
H - przyprostokatna leżąca naprzeciw kata α = 60°
2/3hp - przyprostokatna leżąca przy kącie α = 60°
b - przeciwprostokątna
(1/3*hp) : b = cos α
b = 1/3*hp : cos 60°
b = 1/3*3,3*√3 cm : 1/2
b = 1,1*√3 *2
b = 2,2*√3 cm

3. Obliczam wysokość hś ostrosłupa
z trójkata prostokątnego, gdzie:
hś - przyprostokatna
1/2a - przyprostokatna
b - przeciwprostokatna
z tw. Pitagorasa
(hś)² + (1/2a)² = b²
(hś)² = b² - (1/2a)²
(hś)² = (2,2*√3 cm)² - (1/2*6,6 cm)²
(hś)²= 4,84*3 cm² - 10,89 cm²
(hś)² = 14,52 cm² - 10,89 cm²
(hś)² = 3,63 cm²
hś = √(3,63 cm²)
hś = √1,21*√3
hś = 1,1*√3 cm

4. Obliczam pole podstawy Pp ( pole trójkata równobocznego)
Pp = 1/2*a*hp
Pp = 1/2*6,6 cm *2,2*√3 cm
Pp = 7,26*√3 cm²

5. Obliczam pole boczne Pb
Pole boczne to pola 3 trójkatów równoramiennych
Pb = 3*1/2*a*hś
Pb = 3/2*6,6*1,1*√3 cm²
Pb = 10,89*√3 cm²

6. Obliczam pole całkowite
Pc = Pp+ Pb
Pc = 7,26*√3 cm² + 10,89*√3 cm²
Pc = 18,12*√3 cm²
Pc ≈18*√3 cm²
Pc ≈31 cm²