Question

Kąt alfa jest ostry i sin alfa = 0,75. Wówczas wartość wyrażenia sin(90 stopni - alfa) + tg^2alfa jest równa?

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{sin(90^\circ-\alpha)+tg^2\alpha=\dfrac{7\sqrt7+36}{28}}[/tex]

Rozwiązanie:

[tex]\alpha \in (0^\circ; 90^\circ), sin\alpha=0,75[/tex]

W pierwszej kolejności, obliczamy wartość funkcji cosinus w 1 ćwiartce układu współrzędnych, przy wykorzystaniu Jedynki Trygonometrycznej:

[tex]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\left(\dfrac34\right)^2+cos^2\alpha=1\\\\\dfrac9{16}+cos^2\alpha=1 |-\dfrac9{16}\\\\cos^2\alpha=\dfrac7{16}\\\\cos\alpha=\dfrac{\sqrt7}4[/tex]

W kolejnym kroku obliczamy wartość funkcji tangens w 1 ćwiartce układu współrzędnych, przy wykorzystaniu wzoru na tangens.

[tex]tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\tg\alpha=\dfrac{\frac34}{\frac{\sqrt7}4}\\\\tg\alpha=\dfrac3{4\!\!\!\!\diagup}\cdot\dfrac{4\!\!\!\!\diagup}{\sqrt7}\\\\tg\alpha=\dfrac{3}{\sqrt7}\\\\tg\alpha=\dfrac{3\sqrt7}7[/tex]

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego za sinus kąta ostrego:

[tex]sin(90^\circ-\alpha)=cos\alpha=\dfrac{\sqrt7}4[/tex]

Podstawiamy wartości i obliczamy wartość wyrażenia:

[tex]sin(90^\circ-\alpha)+tg^2\alpha=cos\alpha+tg^2\alpha=\dfrac{\sqrt7}4+\left(\dfrac{3\sqrt7}7\right)^2=\dfrac{\sqrt7}4+\dfrac{9\cdot 7\!\!\!\!\diagup}{49\!\!\!\!\diagup_7}=\\\\=\dfrac{7\sqrt7}{28}+\dfrac{36}{28}=\dfrac{7\sqrt7+36}{28}[/tex]