Question

Zbadaj monotoniczność ciągu

a) an = 4n^2 b) an=4-n^2 c) an=2+ 1/n+8 /-kreska ułamkowa

bardzo proszę o rozwiązanie :)

Answer 1

Aby zbadac monotonicznośc trzeba sprawdzic, jaki znak ma różnica kolejnych dowolnych wyrazów, tzn a{n+1}-a{n} - liczby w nawiasie {...} oznaczają indeks dolny.

jeśli ta różnica będzie:

1. dodatnia - ciąg rośnie

2. ujemna - ciąg maleje

3. stała - ciąg jest stały

 

a) a{n}=4n²

a{n+1}-a{n}=4(n+1)²-4n²=4(n²+2n+1)-4n²=4n²+8n+4-4n²=8n+4>0 (bo n to dowolna liczba naturalna)

 

b) a{n}=4-n²

a{n+1}-a{n}=[4-(n+1)²]-[4-n²]=[4-(n²+2n+1)]-[4-n²]=[4-n²-2n-1]-4+n²=4-n²-2n-1-4+n² =-2n-1<0

 

c) a{n}=2+ 1/(n+8)

 

nie wiem, czy 8 jest w mianowniku, ale pewnie tak. Zatem:

a{n+1}-a{n}=[2+ 1/(n+1+8)]-[2+ 1/(n+8)]=2+ 1/(n+9)-2- 1/(n+8)=1/(n+9)- 1/(n+8)

teraz te dwa ułamki trzeba wziąc do wspólnego mianownika, czyli (n+8)*(n+9)

1/(n+9)=(n+8)/(n+8)*(n+9)

1/(n+8)=(n+9)/(n+8)*(n+9)

wracamy do przykładu:

(n+8)/(n+8)*(n+9)-(n+9)/(n+8)*(n+9)=[(n+8)+(n+9)]/(n+8)*(n+9)=[n+8+n+9]/(n+8)*(n+9)=[2n+17]/(n+8)*(n+9)>0 (w każdym nawiasie wychodzi coś dodatniego, zatem całośc jest dodatnia