Question

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 pierwiastek z 3 cm. Kula wpisana w ten ostrosłup ma promień równy 2 cm. Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy tego ostrosłupa oraz oblicz jego objętość.

Proszę o wytłumaczenie tego zadania od podstaw.

Answer 1

Bez rysunku, może to być ciężkie do wyjaśnienia, ale spróbuję.
Niech ABCD to będzie podstawa ostr. (ABCD jest kwadratem), a S wierzchołkiem na górze. Punkt I to punkt styczności kuli z podstawą ABCD, I' punkt styczności z ścianą SBC. M to środek krawędzi BC. Teraz parę faktów do zauważenia:
1) I jest środkiem kwadratu
2)prosta SM jest wysokością trójkąta SBC i przechodzi przez I'
3)MI = MI', OI=OI' => trójkąt OMI ≡ OMI' => ∡OMI=∡OMI'=∡OMS
4)trójkąt OMI jest prostokątny
5)Szukany kąt nachylenia, to ∡SMI

z 1) wynika, że MI = cm (połowa boku podstawy)
OI=2cm, więc z tw. Pitagorasa OM=4cm
a zatem trójkąt OMI ma boki 4cm,2cm i cm i jest prostokątny. Ponieważ OM jest przeciwprostokątną i jest dwa razy dłuższy od OI, to z tego wnioskujemy, że kąt OMI = 30 stopni (sinus OMI = OI/OM = 1/2, sin(30 st) = 1/2)
Ponieważ ∡OMI=∡OMI'=∡SMO=30st , to ∡SMI = 60 stopni

Wiemy już, że ∡SMI = 60st, a trójkąt SMI jest prostokątny(30,60,90), a bok MI= , zatem wysokość ostrosłupa SI=
Teraz pozostaje już policzyć objętość ze wzoru : pole podstawy*wysokość/3
V=
Spróbuj samodzielnie narysować i zobaczyć to wszystko. Żeby rysunek pasował do mojego, narysuj podstawę ABCD tak, aby bok AB był bardziej z "przodu" niż CD