Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8, a miara kąta nachylenia prz.... Question from @hubertduleba06

October 2022 1 2 Report

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8, a miara kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równa 30 stopni. Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa.

unicorn05

$P_c=128\left(1+\dfrac{2\sqrt6}3\right)\ ,\qquad\quad V=\dfrac{512\sqrt6}3$

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa. Objętość graniastosłupa.

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa to suma powierzchni wszystkich jego ścian.
Objętość graniastosłupa to iloczyn pola powierzchni jego podstawy i wysokości.

Kąt między przekątną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego i jego podstawą, to kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną jego podstawy.

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, czyli przekątna podstawy to:

d = a√2 = 8√2

Przekątna graniastosłupa (D), przekątna jego podstawy (d) i krawędź boczna (H) graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny, więc możemy skorzystać z funkcji tangens, aby obliczyć wysokość graniastosłupa.

Tangens kąta to stosunek długości jego przyprostokątnych: leżącej na przeciw kąta do przyległej kątowi, czyli:

$\bold{\texs{tg\,}30^o=\dfrac Hd}\\\\\bold{\dfrac{\sqrt3}3=\dfrac H{8\sqrt2}\qquad/\cdot8\sqrt2}\\\\\bold{H=\dfrac{8\sqrt6}3}$

Zatem:

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

$\bold{P_c=2\cdot a\cdot a+4\cdot a\cdot H}\\\\\bold{P_c=2\cdot 8\cdot8+4\cdot 8\cdot \dfrac{8\sqrt6}3=128+ \dfrac{256\sqrt6}3=128\left(1+ \dfrac{2\sqrt6}3\right)}$