Question

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 24 cm, a jego wysokość jest równa 12 cm. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do jego podstawy.

Answer 1

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 24 cm, a jego wysokość jest równa 12 cm. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do jego podstawy.

b = 24 cm - krawędż boczna ostrosłupa
H = 12 cm - wysokość ostrosłupa
a- bok podstawy ( trójkąta równobocznego)
hp = 1/2a*√3 - wzór na wysokość trójkata równobocznego (podstawy )
hś - wysokość ściany bocznej ( trójkata równoramiennego)

α = ? - kąt nachylenia ściany bocznej ( wysokości hś ściany) do płaszczyzny
podstawy ( do 1/3hp)

1. Obliczam wysokość hp podstawy ( trójkata równobocznego)
z tw. Pitagorasa z trójkąta prostokatnego gdzie:
2/3h - przyprostokatna
H - przyprostokątna
b - przeciwprostokatna
(2/3hp)² + H² = b²
4/9 hp² = b² - H²
4/9hp² = 24² - 12²
4/9hp² = 576 - 144
4/9 hp² = 432
hp² = 432*9/4
hp² = 9*108
hp² = 972
hp² = 81*4*3
hp = √81*√4*√3
hp = 9*2*√3
hp = 18√3

2. Obliczam 1/3hp
1/3hp = 1/3*18√3
1/3hp = 6√3

3. Obliczam kąt α tj. kat zawarty między wysokością hś sciany bocznej do płaszczyzny podstawy ( czyli do 1/3hp)
z funkcji trygonometrycznej trójkąta prostokatnego gdzie:
1/3h - przyprostokatna leżąca przy kącie α
H - przyprostokątna leżąca naprzeciw kata α
hś - przeciwprostokatna

tg α = H : 1/3hp
tg α = 12 : 6√3
tg α = 2 : √3
tg α = [2 : √3]*( √3 : √3) usuwam niewymierność mianownika
tg α = 2√3 : 3
tg α = 2/3*√3
tg α = 7,732
α = 82°38` ( z tablic funkcji trygonometrycznych)