Question

Korzystając z indukcji matematycznej udowodnij, że liczba 6^(n+2) + 7^(2n + 1) jest podzielna przez 43 dla n >= 0

Answer 1

Indukcji krok pierwszy:
n = 0
6^(n + 2) + 7^(2n + 1) = 6^{0 + 2} + 7^{0 + 1} = 36 + 7 = 43

założenie indukcyjne:
6^(k + 2) + 7^(2k + 1) = 43s (s ∈ N)

teza indukcyjna:
6^((k + 1) + 2) + 7^(2(k + 1) + 1)

dowód:
6^{k + 3} + 7^{2k + 3} = 6^{k + 2}*6 + 7^{2k + 3} = [43s - 7^{2k + 1}]*6 + 7^{2k + 3} = 6*43s - 7^{2k + 1}*6 + 7^{2k + 3} = 6*43s - 7^{2k + 1}*6 + 7^{2k + 1}*49 = 6*43s + 7^{2k + 1}*(49 - 6) = 6*43s + 7^{2k + 1}*43 = 43[6s + 7^{2k + 1}]

6s + 7^{2k + 1} - liczba naturalna (zbiór liczb naturalnych jest zamknięty ze względu na działania dodawania i mnożenia)

Sprawdziliśmy prawdziwość twierdzenia dla n = 0. Następnie przy założeniu, że twierdzenie jest prawdziwe dla k, pokazaliśmy, że jest ono prawdziwe dla k+1. Stąd, na mocy zasady indukcji matematycznej, stwierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych większych lub równych 0.

jak masz pytania to pisz na pw

Answer 2

Niech a(n) = 6^(n+2) + 7^(2n+1)

Chcemy pokazać, że dla n>=0 liczba a(n) jest podzielna przez 43

1. Dla n=0.
a(0) = 6^2 + 7^1 = 36 + 7 = 43 OK!

2. Krok indukcyjny:
Założenie:
a(n) = 43k, dla pewnego k całkowitego
Teza:
a(n+1) = 43l, dla pewnego l całkowitego
Dowód:

a(n+1) =
= 6^(n+1+2) + 7^(2(n+1)+2) =
= 6^(n+3) + 7^(2n+3) =
= 6 * 6^(n+2) + 7 * 7 * 7^(2n+1) =
= 6 * 6^(n+2) + 49 * 7^(2n+1) =
= 6 * 6^(n+2) + (6+43) * 7^(2n+1) =
= 6 * 6^(n+2) + 6 * 7^(2n+1) + 43 * 7^(2n+1) =
= 6 * (6^(n+2) + 7^(2n+1)) + 43 * 7^(2n+1) =
= 6 * a(n) + 43 * 7^(2n+1) =
= 6 * 43 * k + 43 * 7^(2n+1) =
= 43 * (6k + 7^(2n+1)) = 43l
gdzie:
l = 6k + 7^(2n+1)

Czyli a(n+1) również jest podzielne przez 43, co było do udowodnienia!