Question

KOMBINATORYKA
Zad. 1
Z grupy składającej się z 3 dziewcząt i 2 chłopców wybieramy dwuosobową delegację. Na ile sposobów można to zrobić?

Zad.2
Ile jest sposobów zajęcia miejsc przy okrągłym stole przez 10 osób?

Zad.3 Ile liczb czterocyfrowych o róznych cyfrach mozna utworzyć, dysponując cyframi : 1,2,3,0?

Zad.4 W pudełku jest 100 losów, w tym 9 wygrywających. Na ile sposobów można wyciągnąć 3 loosy, tak aby wsród nich były co najmniej dwa wygrywające?

Answer 1

Zad. 1
Z grupy składającej się z 3 dziewcząt i 2 chłopców wybieramy dwuosobową delegację. Na ile sposobów można to zrobić?

3+2=5 pięć osób
wybieramy dwuosobową delegację, dwie osoby z pięciu osób,
kolejność nie ma znaczenia:
5!/2!(5-2)! = 5!/2!3! = 4*5/2 = 10
kolejność  ma znaczenia:
5!/(5-2)! = 5!/3! = 4*5 = 20
odp.
10sposobów(kolejność nie ma znaczenia)
20sposobów (kolejność  ma znaczenia)

Zad.2
Ile jest sposobów zajęcia miejsc przy okrągłym stole przez 10 osób?

wszystkie miejsca rozmieszczone w jednym rzędzie
10!  sposobów
przy okrągłym stole pierwsze miejsce nie ma znaczenia
(10-1)! = 9! = 362880 sposobów
lub
10!/10 = 362880sposobów zajęcia miejsc przy okrągłym stole przez 10 osób

Zad.3
Ile liczb czterocyfrowych o róznych cyfrach mozna utworzyć, dysponując cyframi : 1,2,3,0?

0 nie może stać na pierwszym miejscu
4! - 3! = 24 - 6 = 18


Zad.4
W pudełku jest 100 losów, w tym 9 wygrywających. Na ile sposobów można wyciągnąć 3 loosy, tak aby wsród nich były co najmniej dwa wygrywające?

W pudełku:
91 nie wygrywających
9  wygrywających
3 loosy można wyciągnąć aby wsród nich były co najmniej 2 wygrywające to lub 2 lub 3 wygrywające

kolejność nie ma znaczenia:
C₉² -  sposobów z  9 wygrywających 2 wygrywające
C₉₁¹ -  sposobów z 91 nie wygrywających 1 nie wygrywający
C₉³ -  sposobów z  9 wygrywających 3  wygrywające
C₉₁⁰ -  sposobów z 91 nie wygrywających 0 nie wygrywających
C₉²*C₉₁¹  - sposobów można wyciągnąć 3 loosy, tak aby wsród nich były 2 wygrywające
C₉³*C₉₁⁰ - sposobów można wyciągnąć 3 loosy, tak aby wsród nich były 3 wygrywające
C₉²*C₉₁¹+C₉³*C₉₁⁰  -sposobów można wyciągnąć 3 loosy, tak aby wsród nich były co najmniej 2 wygrywające (2 wygrywające lub 3 wygrywające =>2 wygrywające + 3 wygrywające)

C₉²*C₉₁¹+C₉³*C₉₁⁰ = 9!/2!(9-2)! * 91 + 9!/3!(9-3) *1 = 4*9*91 + 7*4*3 = 3360sposobów

kolejność  ma znaczenia:
A₉² -  sposobów z  9 wygrywających 2 wygrywające
A₉₁¹ -  sposobów z 91 nie wygrywających 1 nie wygrywający
A₉³ -  sposobów z  9 wygrywających 3  wygrywające
A₉₁⁰ -  sposobów z 91 nie wygrywających 0 nie wygrywających

A₉²*A₉₁¹ - sposobów można wyciągnąć 3 loosy, tak aby wsród nich były 2 wygrywające
A₉³*A₉₁⁰ - sposobów można wyciągnąć 3 loosy, tak aby wsród nich były 3 wygrywające
A₉²*A₉₁¹+A₉³*A₉₁⁰  -sposobów można wyciągnąć 3 loosy, tak aby wsród nich były co najmniej 2 wygrywające (2 wygrywające lub 3 wygrywające =>2 wygrywające + 3 wygrywające)

A₉²*A₉₁¹+A₉³*A₉₁⁰ = 9!/(9-2)! * 91 + 9!/(9-3) *1 = 8*9*91 + 7*8*9 = 7056sposobów
odp.
3360sposobów(kolejność nie  ma znaczenia)
7056sposobów (kolejność  ma znaczenia)