Kilka zadań z liceum :p.... Question from @Lesio100

January 2019 1 109 Report

Kilka zadań z liceum :p

Paawełek Zacznę od 601, które wylosowałem :)

Pierw wyznaczam punkt A przecięcia z osią OY (tj.punkt (0, f(0))
$f(0)=\dfrac{0-4}{0-2}=\dfrac{-4}{-2}=2 \\ \\ A=(0,2)$

Teraz punkt B przecięcia z osią OX (tj. punkt (x0, 0)) gdzie x0 to miejsce zerowe:

$f(x)=0 \\ \\ \dfrac{x-4}{x-2}=0 \qquad /\cdot (x-2) \\ \\ x-4=0 \\ \\ x_0=4$

B=(4, 0)

Teraz pochodna funkcji:

$f(x)=\dfrac{x-4}{x-2}=\dfrac{x-2-2}{x-2}=1-\dfrac{2}{x-2}=-2(x-2)^{-1} \\ \\ f'(x)=-2 \cdot (-1) (x-2)^{-2}=2(x-2)^{-2}=\dfrac{2}{(x-2)^2}$

Teraz współczynnik kierunkowy m1 stycznej przechodzącej przez punkt A:

$m_1=f'(x_A) \\ \\ m_1=\dfrac{2}{(0-2)^2}=\dfrac{1}{2}$

Teraz to samo ze styczną przechodzącą przez punkt B:

$m_2=f'(x_B) \\ \\ m_2=\dfrac{2}{(4-2)^2}=\dfrac{1}{2}$

Ponieważ $m_1=m_2$ , te styczne są równoległe, co należało poakzać.
----------------------------

To jadę od tyłu :D Teraz 600

Punkt przecięcia z osią OX to (x, 0), gdzie f(x)=0.

$f(x)=0 \\ \\ x-\dfrac{1}{x}=0 \qquad /\cdot x \\ \\ x^2-1=0 \\ \\ (x-1)(x+1)=0 \\ \\ x_1=1 \\ x_2=-1$

Tymi punktami są (1,0) oraz (-1,0). Wyznaczam pochodną oraz wielkości potrzebne do wzoru na styczną (wzór na styczną w punkcie (x0, y0) to $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

$f(x)=x-\dfrac{1}{x} \\ \\ f'(x)=1 + \dfrac{1}{x^2} \\ \\ f'(1)=1+\dfrac{1}{1}=2 \\ f'(-1)=2 \\ \\ \hbox{Podstawiam:} \\ \\ y-0=2(x-1) \qquad \hbox{oraz} \qquad y-0=2(x+1) \\ \\ y=2x-2 \qquad \hbox{oraz} \qquad y=2x+2 \qquad \ \textless \ -\hbox{szukane styczne}$
------------------------------------------

Zad. 599

Wyznaczam pochodną funkcji:

$f'(x)=5x^4+5$

Zauważam, że zawsze zachodzi $5x^4+5\ \textgreater \ 0$ (ponieważ 5x^4>0, a więc szczególnie 5x^4+5>0). Toteż $f'(x)\ \textgreater \ 0 \qquad \hbox{dla} \qquad x\in \mathbb{R}$ Z tego także wynika, że

$m\ \textgreater \ 0 \qquad \hbox{dla} \qquad x\in \mathbb{R} \\ \\ \hbox{Czyli} \\ \\ \hbox{tg} \ \alpha \ \textgreater \ 0 \qquad \hbox{dla} \qquad x\in \mathbb{R}$

Ponieważ tangens szukanego kąta jest dodatni, kąt jest ostry, co należało pokazać
--------------------

Zad. 598

pochodna tej funkcji to:

$f'(x)=3x^2-10x+3=3x^2-9x-x+3=3x(x-3)-(x-3)= \\ \\ = (3x-1)(x-3) \\ \\ \hbox{Wartosci dodatnie pochodnej sa gdy} \\ \\ (3x-1)(x-3)\ \textgreater \ 0 \\ \\ x \in \left(-\infty, \dfrac{1}{3}\right)\cup (3,+\infty)$

Bo parabola jest skierowana ramionami w górę, a z postaci iloczynowej łatwo odczytuję miejsca zerowe: 1/3 oraz 3. Ujemna będzie w pozostałym przedziale:

$x \in \left( \dfrac{1}{3}, 3 \right)$

W punktach 1/3 oraz 3 równa zeru.
-----------------------

597. Wyznaczam pochodną funkcji ze wzoru na iloczyn:

$f'(x)=(1+x^3)' \cdot \left(5-\dfrac{1}{x^2}\right)+ (1+x^3) \left( 5-\dfrac{1}{x^2}\right)'= \\ \\ = 3x^2 \left(5-\dfrac{1}{x^2}\right)+(1+x^3) \cdot \dfrac{2}{x^3}= \\ \\ =15x^2-3+ \dfrac{2+2x^3}{x^3}= 15x^2- 3 +2+\dfrac{2}{x^3}= \\ \\ = \dfrac{2}{x^3}+15x^2-1$

podstawiam odpowiednio pod iksa jedynkę oraz "a"

$f'(1)= \dfrac{2}{1^3}+15 \cdot 1^2-1=2+15-1=16 \\ \\ f'(a)=\dfrac{2}{a^3}+15a^2-1 \qquad a\neq 0$

--------------------------------------------------------------
Przydatne wzory, na których się opierałem:

$\left(ax^n\right)'=anx^{n-1} \\ \\ \dfrac{1}{x^a}=x^{-a} \\ \\ \hbox{dla} \ u=f(x) \ \hbox{i} \ v=g(x) \ \ \hbox{zachodzi} \ (uv)'=u'v+uv'$

mam nadzieję, że nie strzeliłem gafy :)

5 votes Thanks 1