Każdy bok trójkąta równobocznego podzielono na cztery równe części. Jaka jego część jest zamalowana?.... Question from @Ezwinikd

March 2022 1 10 Report

Każdy bok trójkąta równobocznego podzielono na cztery równe części. Jaka jego część jest zamalowana?

Odpowiedź:

Na początek przyjmijmy, że długość boku całego trójkąta wynosi a. Wówczas każdy z krótkich odcinków ma długość $\frac{a}{4}$ .

Poprowadźmy pionową wysokość trójkąta - podzieli nam go ona na połowy. Pole zamalowanej części (na moim rysunku oznaczonej $P$ ) to w istocie pole połowy trójkąta minus część na lewo od zamalowanej ( $P_1$ na moim rysunku) i mały trójkąt na dole po prawej ( $P_2$ ).

Długość wspomnianej wysokości obliczymy ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym:

$h=\frac{a\sqrt3}{2}$

Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego mamy

$P_\triangle = \frac{a^2\sqrt3}{4}$

Rozważana przez nas połowa ma zatem pole równe

$P_{pol}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{a^2\sqrt3}{8}$

Obliczmy teraz pola $P_1$ i $P_2$ , aby dojść do tego, jakie jest pole $P$ .

Trójkąt 1 to zwykły trójkąt prostokątny. Mamy podstawę i wysokość, zatem możemy obliczyć jego pole:

$P_1=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{4}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{16}$

Zauważmy, że trójkąt 2 to mały trójkąt równoboczny o boku długości $\frac{a}{4}$ . Zatem jego pole obliczymy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, podstawiając $\frac{a}{4}$ jako długość boku:

$P_2=\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{a}{4}\right)^2\cdot\sqrt3=\frac{1}{4}\cdot\frac{a^2\sqrt3}{16}=\frac{a^2\sqrt3}{64}$

[Uwaga na boku, gdyby było trzeba dowodzić, że trójkąt 2 jest równoboczny - do tego posłuży drugi załączony rysunek - ten z podpisanymi punktami]

ABC - trójkąt równoboczny. Zauważmy, że $DE\parallel AC$ . Stąd $|\measuredangle EDB| = |\measuredangle CAB|=60^{\circ}$ oraz $|\measuredangle DEB| = |\measuredangle ACB| = 60^{\circ}$ . Trzeci kąt oba trójkąty (ABC i DBE) mają wspólny - jest to kąt przy wierzchołku B, $|\measuredangle B|=60^\circ$ . Trójkąt, który ma wszystkie kąty o mierze 60°, jest równoboczny, co kończy dowód.

[koniec uwagi na boku]

Obliczymy teraz pole zamalowanego obszaru. Jak już wskazaliśmy słownie,

$P=P_{pol}-(P_1+P_2)=P_{pol}-P_1-P_2$

$P=\frac{a^2\sqrt3}{8} - \frac{a^2\sqrt3}{16}-\frac{a^2\sqrt3}{64}$

Wyłączmy wspólny czynnik przed nawias:

$P=\frac{a^2\sqrt3}{8} - \frac{a^2\sqrt3}{16}-\frac{a^2\sqrt3}{64} = \frac{a^2\sqrt3}{8}-\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2\sqrt3}{8}-\frac{1}{8}\cdot\frac{a^2\sqrt3}{8}\\\phantom{P}= \frac{a^2\sqrt3}{8}\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right) = \frac{a^2\sqrt3}{8}\cdot\frac{3}{8}$

Mamy ustalić, jaka część całego trójkąta została zamalowana, czyli jaką częścią $P_\triangle$ jest $P$ . Przypomnijmy, że $P_\triangle=\frac{a^2\sqrt3}{4}$ . Przekształćmy $P$ tak, żeby zobaczyć, jaką częścią całego pola jest zamalowana część.

$P=\left(\frac{a^2\sqrt3}{8}\right)\cdot\frac{3}{8} = \left(\underline{\frac{a^2\sqrt3}{4}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{3}{8}$

(Nawiasy są po to, żeby pokazać, co jest tą samą częścią, niczego nie zmieniają w obliczeniach)

Zauważmy, że podkreślona część to w istocie wzór na pole całego trójkąta, tzn.

$P=\left(\underline{\frac{a^2\sqrt3}{4}} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{3}{8} = P_\triangle\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{16}P_\triangle$