Question

Wielomian P iQ dane sa wzorami P(x)=3x-a Q(x)=x-2 O wielomianie W wiadomo że W=P^2 - 3 Q oraz że współczynnik przy x jest = -15 Wyznacz a
zad2
wykaz ze odwrotnośc różnicy odwrotności liczb a-1 i a a rózne 0 i a rózne 1 jest równa a do kwadratu - a
zad3
Uzasadnij że dla dowolnej liczby rzeczywistej k oraz x rózne0 x różne -k zachodzi wzór k/x(x+k)=1/x - 1/(x+k)
zad 4 wykaż że iloczyn suma oraz róznica liczb wymiernych jest liczbą wymierną
zad5
wyznacz wszystkie liczby naturalne k dla ktorych liczba postaci k kwadrat+2k+6/k+1 jest calkowita

Answer 1

Zad.1.
P(x)=3x-a
Q(x)=x-2
W(x)=[P(x)]²-3Q(x)
W(x)=(3x-a)²-3(x-2)=((3x)²-2*3x*a+a²)-3(x-2)=9x²-6ax+a²-3x+6=9x²+x(-3-6a)+6+a². Wiemy że -6a-3=-15, -6a=-15+3, -6a=-12 /:(-6), a=2 Zatem a²+6=2²+6=4+6=10 więc
W(x)=9x²+2x+10.
Zad.2.
1/[(1/(a-1) - 1/a]=a²-a, a≠0, a≠1
L=1/[(1/(a-1) - 1/a]
P=a²-a
L=1/[(1/(a-1) - 1/a]=1/[a/(a(a-1)) - (a-1)/(a(a-1))]=1/[(a-(a-1))/(a(a-1))]=(a(a-1))/(a-(a-1))=(a(a-1))/(a-a+1)=(a(a-1))/1=(a(a-1))=a²-a=P
Zad.3.
k - dowolne
x≠0, x≠ - k
k/[x(x+k)]=1/x-1/(x+k)
k/[x(x+k)]=(x+k)/[x(x+k)] - x/[x(x+k)]
k/[x(x+k)]=[(x+k)-x]/[x(x+k)]
Mnożę na krzyż z proporcji
k[x(x+k)]=[x(x+k)][x+k-x]
kx(x+k)=[x(x+k)]k
kx(x+k)=kx(x+k)
kx²+k²x=kx²+k²x
kx²+k²x-kx²-k²x=0
0=0
Zatem ta równość jest prawdziwa dla każdego k (nieskończenie wiele rozwiązań)
Zad.4.
Liczby wymierne to takie które da się przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych, weźmy dwie liczby wymierne
(a/b) oraz (c/d) i liczymy
suma (a/b) + (c/d) = (ad/bd) + (cb/bd) = [ad+cb]/(bd) - wymierna
różnica (a/b) - (c/d) = (ad/bd) - (cb/bd) = [ad-cb]/(bd) - wymierna
iloczyn (a/b) *(c/d)=(ac)/(bd) - wymierna
iloraz (a/b):(c/d)=(a/b)*(d/c)=(ad)/(bc) - wymierna
Zad.5.
[k²+2k+6]/[k+1] - całkowita
[k²+2k+6]/[k+1]
Rozkładamy z delty k²+2k+6 wtedy
Δ=2²-4*1*6=4-24=-20<0 zatem wielomian ten jest nierozkładalny.
Jeśli [k²+2k+6]/[k+1] ma być całkowite to oznacza że k²+2k+6 musi się dzielić przez k+1 bez reszty zatem podzielny to z tw. Bezoulta wtedy
[k²+2k+6]/[k+1]=(k+1) reszty 5, więc
[k²+2k+6]/[k+1]=(k+1)+5/[k+1]
I wychodzi mi że nie ma takiego k :)

Liczby te mają różną parzystość. Wszystkie liczby można zapisać jako 2n (parzyste) lub 2n+1 (nieparzyste)
Jeśli k jest parzyste to k=2n i mamy
k²+2k+6=(2n)²+2*2n+6=4n²+4n+6=2(2n²+2n+3) - parzysta
k+1=2n+1 - nieparzysta
Jeśli k jest nieparzyste to k=2n+1 i mamy
k²+2k+6=(2n+1)²+2*(2n+1)+6=4n²+4n+1+4n+2+6=2(2n²+4n+4)+1 - nieparzysta
k+1=(2n+1)+1=2n+2=2(n+1) - parzysta
Zatem nigdy się nie podzielą