Question

Proszę o dobre rozwiązanie tych zadań,Z góry dzięki i pozdrawiam
Zadanie 1
Wyznacz jeśli istnieją, wszystkie miejsce zerowe następujących funkcji
a) f(x)=x+3
b) f(x)=5-9x
c) f(x)=6x+4
d) f(x)= -4 ⅓ x+9
e) f(x)= x²-25
f) f(x)= 8x
g) f(x)=(7x-2)(3-5x)
h) f(x)= x²-7
i) f(x)=x²+9
j) f(x)=√2x-6
k) f(x)= x²-2x
l) f(x)= x(x-4)
Zadanie 2
Wyznacz zbiór wartości funkcji:
a)f(x)= ½x+3 X∈(-7,-5,-4,1,0,3)
b)f(x)= 5/3x-4 X∈(-5,-3,-3/4,-½,0,3/2)
c)f(x)=1/x X∈(-7/5,-⅗,½,⅘,6)
d)f(x)=-x²-3x+2 X∈(-√2,0,1,√3,2½,6,8)
/ - jest to kreska ułamkowa

Zadanie 3 Określ dziedzinę funkcji f
a) f(x)=√x+3
b)f(x)=√3-4x
c) f(x)= -3x+4

Answer 1

Zadanie 1
Wyznacz jeśli istnieją, wszystkie miejsce zerowe następujących funkcji
"Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0, czyli f(x) = 0".

a) f(x) = x+3
x + 3 = 0
x = - 3

b) f(x) = 5-9x
5 - 9x = 0
- 9x = - 5 /:(-9)
x = ⁵/₉

c) f(x) = 6x+4
6x + 4 = 0
6x = - 4 /:6
x = - ⁴/₆
x = - ⅔

d) f(x) = - 4 ⅓ x+9
- 4⅓ x+9 = 0
- ¹³/₃*x = - 9 /:(- ¹³/₃)
x = - 9 * (- ³/₁₃)
x = ²⁷/₁₃
x = 2¹/₁₃

e) f(x) = x²-25
x²-25 = 0
(x - 5)(x +5) = 0
x - 5 = 0 lub x + 5 = 0
x = 5 lub x = - 5
x₁ = 5 i x₂ = - 5

f) f(x) = 8x
8x = 0 /:8
x = 0

g) f(x) = (7x-2)(3-5x)
(7x-2)(3-5x) = 0
7x - 2 = 0 lub 3 - 5x = 0
7x = 2 /: 7 lub - 5x = - 3 /: (- 5)
x = ²/₇ lub x = ⅗
x₁ = ²/₇ i x₂ = ⅗

h) f(x) = x²-7
x²-7 = 0
(x - √ 7)(x + √ 7) = 0
x - √ 7 = 0 lub x + √ 7 = 0
x = √ 7 lub x = - √ 7
x₁ = √ 7 i x₂ = - √ 7

i) f(x) = x²+9
x²+9 = 0
x² = - 9
Równanie nie ma rozwiązań
Funkcja nie ma miejsc zerowych

j) f(x) = √2x-6
Nie wiadomo czy √ dotyczy tylko 2, czy 2x czy całego wyrażenia :), więc podam wszystkie trzy przypadki :)
1. f(x) = √2 x - 6 (tylko 2 pod pierwiastkiem)
√2 x - 6 = 0
√2 x = 6 /: √2
x = 6 / √2
x = 6 √2 / √2*√2
x = 6 √2 / 2
x = 3 √2
2. f(x) = √2x - 6 (2x pod pierwiastkiem)
Najpierw trzeba wyznaczyć dziedzinę: "nie istnieją pierwiastki kwadratowe (oraz parzystego stopnia) z liczb ujemnych, zatem to co stoi pod pierwiastkiem kwadratowym (lub parzystego stopnia) musi być większe bądź równe 0"
2x ≥ 0 /:2
x ≥ 0
D = {x: x ∈ <0; + ∞)}
√2x - 6 = 0
√2x = 6 /²
2x = 36 /:2
x = 18
3. f(x) = √2x-6 (2x-6 pod pierwiastkiem)
2x - 6 ≥ 0
2x ≥ 6 /:2
x ≥ 3
D = {x: x ∈ <3; + ∞)}
√2x-6 = 0 /²
2x - 6 = 0
2x = 6 /:2
x = 3

k) f(x) = x²-2x
x²-2x = 0
x(x - 2) = 0
x = 0 lub x - 2 = 0
x = 0 lub x = 2
x₁ = 0 i x₂ = 2

l) f(x) = x(x-4)
x(x-4) = 0
x = 0 lub x - 4 = 0
x = 0 lub x = 4
x₁ = 0 i x₂ = 4

Zadanie 2
Wyznacz zbiór wartości funkcji:
a)f(x) = ½x+3 x∈(-7,-5,-4,1,0,3)
f(-7) = ½ * (- 7) + 3 = - ⁷/₂ + ⁶/₂ = - ½
f(-5) = ½ * (-5) + 3 = - ⁵/₂ + ⁶/₂ = ½
f(-4) = ½ * (-4) + 3 = - ⁴/₂ + 3 = - 2 + 3 = 1
f(1) = ½ * 1 + 3 = ½ + 3 = 3½
f(0) = ½ * 0 + 3 = 0 + 3 = 3
f(3) = ½ * 3 + 3 = ³/₂ + 3 = 1½ + 3 = 4½
ZW = {- ½, ½, 1, 3½, 3, 4½}

b)f(x) = 5/3x-4 x∈(-5,-3,-¾,-½,0,³/₂)
f(- 5) = 5 / 3*(- 5) - 4 = 5 / -15 - 4 = - ⁵/₁₉
f(- 3) = 5 / 3*(- 3) - 4 = 5 / -9 - 4 = - ⁵/₁₃
f(-¾) = 5 / 3*(- ¾) - 4 = 5 / - ⁹/₄ = 5 * (- ⁴/₉) = - ²⁰/₉ = - 2²/₉
f(-½) = 5 / 3*(- ½) - 4 = 5 / -³/₂- ⁸/₂ = 5 / -¹¹/₂ = 5 * (- ²/₁₁) = - ¹⁰/₁₁
f(0) = 5 / 3*0 - 4 = 5 / - 4 = - ⁵/₄ = - 1¼
f(³/₂) = 5 / 3*(³/₂) - 4 = 5 / ⁹/₂ - ⁸/₂ = 5 / ½ = 5 * 2 = 10
ZW = {- ⁵/₁₉; - ⁵/₁₃; - 2²/₉; ¹⁰/₁₁; - 1¼; 10}

c)f(x) = 1/x x∈(-⁷/₅, -⅗, ½, ⅘, 6)
f(-⁷/₅) = 1 / -⁷/₅ = 1 * (- ⁵/₇) = - ⁵/₇
f(-⅗) = 1 /-⅗ = 1 * (- ⁵/₃) = - ⁵/₃ = - 1⅔
f(½) = 1 / ½ = 1 * 2 = 2
f(⅘) = 1 / ⅘ = 1 * ⁵/₄ = 1¼
f(6) = 1 / 6 = ⅙
ZW = {- ⁵/₇; - 1⅔; 2; 1¼; ⅙}

d)f(x) = -x²-3x+2 x∈(-√2, 0, 1, √3, 2½, 6, 8)
f(-√2) = -(-√2)² - 3(-√2) + 2 = - 2 + 3√2 + 2 = 3√2
f(0) = - 0²-3*0 + 2 = 0 - 0 + 2 = 2
f(1) = - 1² - 3*1 + 2 = - 1 - 3 + 2 = - 2
f(√3) = -(√3)² - 3√3 + 2 = - 3 - 3√3 + 2 = - 1 - 3√3
f(2½) = -(⁵/₂)² - 3* ⁵/₂ + 2 = - ²⁵/₄ - ¹⁵/₂ + 2 = - ²⁵/₄ - ³⁰/₄ + ⁸/₄ = - ⁴⁷/₄ = - 11¾
f(6) = -6² - 3*6 + 2 = - 36 - 18 + 2 = - 52
f(8) = -8² - 3*8 + 2 = - 64 - 24 + 2 = - 86
ZW = {3√2; 2; - 2; - 1 - 3√3; - 11¾; - 52; - 86}

Zadanie 3 Określ dziedzinę funkcji f
a) f(x) = √x+3
x + 3 ≥ 0
x ≥ - 3
D = {x: x ∈ <- 3; + ∞)}

b)f(x)=√3-4x
3 - 4x ≥ 0
- 4x ≥ - 3 /:(- 4)
x ≤ ¾
D = {x: x ∈ (- ∞; ¾>}

c) f(x)= -3x+4
D = R