Question

Jesli dłuższy bok prostokąta zmniejszymy o x%, a krótszy zwiększymy o y%, to pole prostokąta wzrośnie o 4,5%. Jesli natomiast dłuższy bok tego prostokąta skrócimy o y%, a drugi bok wydłużymy o x%, to pole prostokąta zmaleje o 5,5%. Ile wynosi x, a ile y, jeżeli obie liczby sa naturalne i żadna z nich nie jest kwadratem liczby naturalnej?

Proszę o pomoc.

Answer 1

a - wyjściowy bok prostokąta, a > 0

b - wyj. bok prostokąta, b > 0

P = ab

===========

a - x/100*a - bok po zmniejszeniu

b + y/100*  b - bok po zwiększeniu

P1 = (a - x/100*a)*(b + y/100*  b )=a(1-x/100)*b(1+y/100)=ab(1-x/100)*(1+y/100)

P1 = P + 4,5%ab = ab + 4,5%ab = ab(1 + 4,5/100)

ab(1-x/100)*(1+y/100)=ab(1 + 4,5/100)   /:ab

1 + y/100 - x/100 - (xy)/10000 = 1 + 4,5/100   / - 1

y/100 - x/100 - xy/10000 = 4,5/100    /*100

y - x - xy/100 = 4,5

===============

II zmiana

a - y/100*a - bok po zmniejszeniu

b + x/100*  b - bok po zwiększeniu

P2 = (a - y/100*a)*(b + x/100*  b )=a(1-y/100)*b(1+x/100)=ab(1-y/100)*(1+x/100)

P2 = P - 5,5%ab = ab - 5,5%ab = ab(1 - 5,5/100)

ab(1-y/100)*(1+x/100) = ab(1 - 5,5/100)   /:ab

(1-y/100)*(1+x/100) = (1 - 5,5/100)

1 + x/100 - y/100 - xy/10000 = 1 - 5,5/100  / -1

x/100 - y/100 - xy/10000 = -5,5/100   /* 100

x - y - xy/100 = -5,5

===============

I mamy dwa równnia z 2 niewiadomymi

{ x - y - xy/100 = -5,5

{-x +y -xy/100 = 4,5      dodaję stronami

-2xy/100 = -1  /*100

-2xy = -100   /:(-2)

xy = 50    oraz x i y są liczbami naturalnymi i żadna z nich nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Wobec tego

x = 1 i y = 50 - odpada bo nie spełnia warunków zadania, bo a - 1%a = 0.99a

b+ 50%b =1,5 b

P = 0,99a * 1,5b = 1,485ab = 148,5%ab, czyli wzrost o 48,5%

=================

x = 50  i y = 1 - odrzucamy, bo nie spełnia warunków zadania

=============

x = 2 i y = 25 = odrzucamy, bo nie może być kwadratem liczby naturalnej, a y jest

============

x= 10 i y = 5  - odrzucamy, bo nie spełnia warunków zadania

==========

x = 5 i y = 10

a -5%a =0,95a

b+10%b = 1,1b

P = 0,95a*1,1b = 1,045ab = 104.5%ab  i tu mamy wzorost o 4,5%

 I druga zmiana też jest spełniona

Odp. x wynosi 5  a y = 10, czyli z I razem bok skrócono o 5%, a krótszy wydłużono o 10%

 

Myślę, że pomogłam :-)