Question

Jeżeli trójmian x²+ax+b oraz dwumian ax+b mają ten sam niepusty zbiór pierwiastków, to:
a) a=0 i b<0
b) a=0 i b=0
c) a≠0 i b=0
d) a≠0 i b<0
e) Jest to niemożliwe.

Tylko jedna odpowiedź jest poprawna i proszę o uzasadnienie!

Answer 1

Jeżeli trójmian x²+ax+b oraz dwumian ax+b mają ten sam niepusty zbiór pierwiastków, to:
a) a=0 i b<0
b) a=0 i b=0
c) a≠0 i b=0
d) a≠0 i b<0
e) Jest to niemożliwe.
odp. e)
a) nie może być, bo kwadratowe ma wtedy 2 rozwiązania x=√-b,x=-√-b, a liniowe sprzeczne
b)nie może być, bo kwadratowe ma 1 rozwiązanie x=0, a liniowe nieskończenie wiele rozwiązań , bo 0x=0
c) nie może być, bo kwadratowe ma wtedy 2 rozwiązania x=0,x=-a , a liniowe 1 rozwiązanie x=0
d) nie może być, bo kwadratowe ma wtedy 2 rozwiązania bo Δ>0 , a liniowe 1 rozwiązanie x=-b/a

Answer 2

Trójmian i dwumian będą miały ten sam pierwiastek q, gdy ich wartość dla q będzie taka sama i będzie wynosiła 0.

Oba wielomiany różnią się o składnik x², widać zatem, że równe będą tylko wtedy, gdy pierwiastek będzie równy 0. Zbadajmy zatem, kiedy pierwiastkiem danych wielomianów będzie 0:

Pierwiastek wyrażenia x² + ax + b jest równy 0, gdy a = 0 i b = 0.

Pierwiastek wyrażenia ax + b jest równy 0, gdy a ≠ 0 i b = 0; gdyby a = 0 i b = 0, wyrażenie byłoby nieoznaczone.

Ponieważ warunki te nie pokrywają się, taka sytuacja jest niemożliwa.