Question

(Jednokładność) Do dwóch okręgów o promieniach odpowiednio 3 i 12 przeprowadzono wspólną styczną tak, że okręgi znajdują się po przeciwnych stronach tej stycznej. Odległość między środkami okręgów jest równa 25. Oblicz długość odcinka łączącego punkty styczności.

Proszę o wytłumaczenie i rysunek.

Answer 1

Oznaczmy odcinek od środka okręgy o r =3 do przecięcia się z styczną przez x. Odcinek od środka okręgy o r =12 do przecięcia się z styczną będzie zatem wynosił: 25-x
powstałe trójkąty mają ten sam kąt alfa gdyż kąty wierzchołkowe sa równe 
A więc mają równe wszystkie kąty czyli sa to trójkaty podobne



Długość odcinka stysznego jest sumą długości przy]prostokątnych tych trójkątów a+b
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy a i b

[tex]a^2=x^2-{r_1}^2\\a^2=5^2-3^2\\a^2=25-9\\a^2=16\\a=\sqrt{16}=4\\b^2=(25-x)^2-{r_2}^2\\b^2=20^2-12^2\\b^2=400-144\\b^2=256\\b=\sqrt{256}=16\\a+b=4+16=20\\[/tex

Odp: odcinek ma długość 20