Question

Jedna z przekątnych równoległoboku ma długość 12 i dzieli kąt ostry tego równoległoboku na kąty
o miarach 30 stopni i 45 stopni. Oblicz obwód i pole równoległoboku.

Answer 1

Odpowiedź:

ABCD= wierzchołki równoległoboku

I AC I= 12 = dłuzsza przekatna

kąr ostry ma 30+45=75, zaś rozwarty ma 180-75=105 stopni

kąt :

CAD=45               ACD= 30

DE = wysokośc trójkata  ACD poprowadzona na AC

PODZIELIŁA ONA KĄT 105 NA 2 KĄTY :

KĄT  ADE = 45,  kąt EDC = 105-45=60 stopni

podstały nam 2 trójkaty:

jeden to trójkąt AED , jest on prostokątny równoramienny, czyli I AE I= x,

I ED I=  x, zaś I AD I= x√2   wynika to z własności katów 45 w trójkacie prostokatnym

drugi trójkąt DEC ma kąty 60,90, i 30 stopni, z własnosci takich katów wynika, ze I DC I= 2* I DE I= 2 x

I EC I = I DE I√3= x √3

........................................................

I AC I = I AE I + I EC I

12= x+ x√3

x(1+√3)=12

x= 12( 1-√3)/ (1-3)= (12-12√3)/(-2)= -( 12√3-12)/(-2)= 6√3-6

pole Δ ACD= 1/2  * I AC I * I DE I= 1/2*12*x= 6*(6√3-6)= 36√3-36=36(√3-1)

AC dzieli równoległobok na 2 trójkaty o równych polach, czyli pole ABCD=

72(√3-1)

dł. boków to :

a= 2x            b= x√2

obwód= 2*(a+b)= 2*( 2x+x√2) =2x(2+√2)= 2(2+√2)*(6√3-6)=

2*( 12√3-12+6√6-6√2)=24√3-24+12√6-12√2= 12(2√3-2+√6-√2)

Szczegółowe wyjaśnienie: