Question

Jakie wymiary powinien mieć prostokąt o obwodzie równym 8, aby walec, który powstanie z obrotu tego prostokąta dookoła jednego z boków, miał:
a) największe pole powierzchni bocznej,
b) największą objętość

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Oznaczmy jeden bok x a drugi y

Ponieważ obwód to 2x + 2y = 8

więc x+y = 4

y = 4 - x

a)

Pole powierzchni bocznej to

S(x) = 2π*x*y = 2πx(4-x) = -2πx² + 8πx

Maksimum funkcja kwadratowa ma w punkcie -b/2a czyli

x = -8π/-4π = 2

y = 4 - 2 = 2

b)

V = πx²y = πx²(4-x) = - πx³ + 4πx²

x∈(0;4)

Znajdzmy maksimum funkcji w przedziale

Obliczmy pochodną

-3πx² + 8πx

Znajdźmy miejsca zerowe

-3πx² + 8πx = 0

πx( 8 - 3x²) = 0

czyli x = 0 (wtedy objętość wynosi 0)

y = 4 - x =