Question

Jaka jest reszta z dzielenia liczby 3 do potęgi 2007 przez 5?
Odpowiedź uzasadnij.
Od razu dzięki za rozwiązania! :))

Answer 1

(kropkami zaznaczylem ostatnie cyfry)
.3. -----------------1
3 x 3 = .9.---------2
3 x 3 x 3 = 2.7.----3 - to jest trzecie czyli ostatnie to 7
3x3x3x3=8.1.-------4
3x3x3x3x3=24.3.--- i tu już się powtarza

2007:4=501 r.3

Answer 2

Najpierw drobny fakt:
Liczba 3 ^ (n+4) daje taką samą resztę z dzielenia przez 5 jak liczba 3 ^ n

Dowód faktu:
3 ^ (n+4) = 3^4 * 3^n = 81 * 3^n = 80 * 3^n + 3^n
Pierwszy składnik tej sumy dzieli się przez 5 (bo 80 dzieli się przez 5) a zatem cała liczba 3^(n+4) daje dokładnie taką samą resztę z dzielenia przez 5 jak liczba 3^n

Teraz drugi fakt: jeżeli k jest liczbą naturalną, to liczba 3^(n+4*k) daje z dzielenia przez 5 taką samą resztę jak liczba 3^n

Dowód: bardzo prosto, bo wystarczy k razy zastowować pierwszy fakt, i już nam wychodzi.

Korzystając z faktu 2 mamy:

3^2007 = 3^(3+4*501) a ta liczba daje taką samą resztę z dzielenia przez 5 jak 3^3 = 27, czyli ta reszta to 2