Jak wyznaczyć ekstremum lokalne funkcji f (x,y)= x^2+xy+y^2-6lnx.... Question from @Amonoo

January 2019 1 25 Report

Jak wyznaczyć ekstremum lokalne funkcji f (x,y)= x^2+xy+y^2-6lnx

Roma $f (x,y)= x^2+xy+y^2-6ln(x)$
Dziedzina:
$D =\{(x,y) \in R^2: x \ \textgreater \ 0\}$
bo liczba logarytmowana musi być dodatnia (ln x; x >0)

Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
$f'_x(x,y) = 2x+y- \frac{6}{x}\\\
f'_y(x,y) =x+2y$

Przyrównujemy pochodne do zera, tworząc układ równań:
$\left \{ {{2x+y- \frac{6}{x}=0 \ / \cdot x} \atop {x+2y=0}} \right. \\\\
\left \{ {{2x^2+xy-6=0} \atop {x=-2y}} \right.$
Podstawiamy do I równania (x = -2y) i go rozwiązujemy:
$2\cdot (-2y)^2+(-2y) \cdot y-6=0\\\
2\cdot 4y^2-2y^2-6=0 \\\
8y^2-2y^2-6=0\\\
6y^2-6=0 \ /:6 \\\
y^2-1=0 \\\
(y-1)(y+1) = 0 \\\
y -1 = 0 \ \vee \ y + 1 = 0 \\\
y = 1 \ \vee \ y = - 1$

$\left \{ {{x=-2y} \atop y =1}} \right. \ \vee \ \left \{ {{x=-2y} \atop y =-1}} \right. \\\\
\left \{ {{x=-2 \cdot 1} \atop y =1}} \right. \ \vee \ \left \{ {{x=-2 \cdot (-1)} \atop y =-1}} \right. \\\\
\left \{ {{x=-2 \notin D} \atop y =1}} \right. \ \vee \ \left \{ {{x=2\in D} \atop y =-1}} \right.$

Punkt stacjonarny: P = (2; - 1)

Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
$f"_{xx}(x,y)=2-(- \frac{6}{x^2})=2+ \frac{6}{x^2} \\\
f"_{xy}(x,y)=1 \\\
f"_{yy}(x,y)=2 \\\
f"_{yx}(x,y)=1$

Tworzymy wyznacznik:
$\begin{vmatrix} 2+ \frac{6}{x^2} &1\\1&2\end{vmatrix} =(2+ \frac{6}{x^2}) \cdot 2 - 1 \cdot 1= 4+ \frac{12}{x^2} -1=\frac{12}{x^2} +3$

Obliczamy wyznacznik dla punktu stacjonarnego:
$W(P) = W(2; -1) = \frac{12}{2^2} +3=\frac{12}{4} +3 = 3+3 = 6 \ \textgreater \ 0$

$W(P) \ \textgreater \ 0$ , zatem w punkcie P =(2; - 1) jest ekstremum

Sprawdzamy jakie ekstremum jest w punkcie P = (2; - 1):
$f"_{xx}(P)=f"_{xx}(2; -1)=2+ \frac{6}{2^2}=2+ \frac{6}{4}=2+ \frac{3}{2}=2+ 1\frac{1}{2}=3\frac{1}{2} \ \textgreater \ 0$

$f"_{xx}(P)\ \textgreater \ 0$ , zatem w punkcie P = (2; - 1) funkcja ma minium

Obliczamy minimum korzystając ze wzoru funkcji:
$f (x,y)= x^2+xy+y^2-6ln(x) \\\
f (P)=f(2; -1)= 2^2+2 \cdot (-1)+(-1)^2-6ln(2) =4 - 2+\\\
+1 - 6ln(2) = 3-6ln(2)$

Odp. Funkcja f osiąga minimum lokalne w punkcie (2; - 1): $f_{min}(2; - 1) = 3-6ln(2)$