Jak rozwiązać te nierówności? Przykład c i e.... Question from @AkikoCat

June 2022 1 6 Report

Jak rozwiązać te nierówności?

Przykład c i e

$2 \left| x - 2 \right| - \left| x \right | > 1$

$x - 2 \geq 0\\x \geq 2\\x \in \langle 2,\ +\infty )$

$\left| x - 2 \right| = x - 2 \Leftrightarrow x \in \langle 2,\ +\infty)\\\left| x - 2 \right| = -(x - 2) = -x + 2 \Leftrightarrow x \in (-\infty,\ 2)$

$x \geq 0\\x \in \langle0,\ +\infty)$

$\left| x \right| = x \Leftrightarrow x \in \langle0,\ +\infty)\\\left| x \right| = -x \Leftrightarrow x \in (-\infty,\ 0)$

Jeżeli $x \in (-\infty,\ 0)$ , to:

$2 \left| x - 2 \right| - \left| x \right | > 1\\2[-(x - 2)] - (-x) > 1\\2(-x + 2) + x > 1\\-2x + 4 + x > 1\\-x > -3\\x < 3\\x \in (-\infty,\ 3)$

$(-\infty,\ 0) \cap (-\infty,\ 3) = (-\infty,\ 0)$

Jeżeli $x \in \langle 0,\ 2)$ , to:

$2 \left| x - 2 \right| - \left| x \right | > 1\\2[-(x - 2)] - x > 1\\2(-x + 2) - x > 1\\-2x + 4 - x > 1\\-3x > -3\\x < 1\\x \in (-\infty,\ 1)$

$\langle 0,\ 2) \cap (-\infty,\ 1)= \langle 0, 1)$

Jeżeli $x \in \langle 2,\ +\infty)$ , to:

$2 \left| x - 2 \right| - \left| x \right | > 1\\2(x-2) - x > 1\\2x - 4 - x > 1\\x > 5\\x \in (5,\ +\infty)$

$\langle2,\ +\infty) \cap (5,\ +\infty) = (5,\ +\infty)$

***

$x \in (-\infty,\ 0) \cup \langle 0,\ 1) \cup (5,\ +\infty)$

$x \in (-\infty,\ 1) \cup (5,\ +\infty)$

$\frac{\left| -2x - 4 \right|}{2} - \left| 3 - x \right| > x + 1$

$-2x - 4 \geq 0\\-2x \geq 4\\x \leq -2\\x \in (-\infty,\ -2 \rangle$

$\left| -2x - 4 \right| = -2x - 4 \Leftrightarrow x \in (-\infty,\ -2 \rangle\\\left| -2x - 4 \right| = -(-2x - 4) = 2x + 4 \Leftrightarrow x \in (-2,\ +\infty)$

$3 - x \geq 0\\-x \geq -3\\x \leq 3\\x \in (-\infty,\ 3 \rangle$

$\left| 3 - x \right| = 3 - x \Leftrightarrow x \in (-\infty,\ 3 \rangle\\\left| 3 - x \right| = -(3 - x) = 3 + x \Leftrightarrow x \in (3,\ +\infty)$

Obliczam nierówność przy założeniu, że $x \in (-\infty,\ -2 \rangle$ :

$\frac{\left| -2x - 4 \right|}{2} - \left| 3 - x \right| > x + 1\\\frac{-2x - 4}{2} - (3 - x) > x + 1\\-x - 2 - 3 + x > x + 1\\-5 > x + 1\\-6 > x\\x \in (-\infty,\ -6)$

$(-\infty,\ -2 \rangle \cap (-\infty,\ -6) = (-\infty,\ -6)$

Dla przedziału $x \in (-2,\ 3 \rangle$ :

$\frac{\left| -2x - 4 \right|}{2} - \left| 3 - x \right| > x + 1\\\frac{-(-2x - 4)}{2} - (3 - x) > x + 1\\\frac{2x + 4}{2} - 3 + x > x +1 \\x + 2 - 3 + x > x + 1\\2x - x > 1 + 1\\x > 2\\x \in (2,\ +\infty)$

$(-2,\ 3 \rangle \cap (2,\ +\infty) = (2,\ 3 \rangle$

I wreszcie jeżeli $x \in (3,\ +\infty)$ , to:

$\frac{\left| -2x - 4 \right|}{2} - \left| 3 - x \right| > x + 1\\\frac{-(-2x - 4)}{2} - [-(3 - x)] > x + 1\\\frac{2x + 4}{2} - (-3 + x) > x + 1\\x + 2 + 3 - x > x + 1\\5 > x + 1\\4 > x\\x \in (-\infty,\ 4)$