Question

Jak rozwiązać taka nierówność |x^2-x|-|x-5|=<3

x^2 - x do kwadratu

Answer 1

|x²-x|-|x-5|≤3

x²-x=0                                           x-5=0

x(x-1)=0

x 1=0     ∨  x 2=1          ∨              x=5

 

------------------------------|----|----------------------------|----------------------------->     

 -∞                               0     1                                   5                                      ∞

rozpatrujemy kolene przedzialy

1)  jezeli x∈(-∞;0), to     x²-x-(-x+5)≤3

                                         x²-x+x-5-3≤0

                                          x²-8≤0

                                      (x-2√2)(x+2√2)≤0

ramiona paraboli skierowane do gory, miejsca zerowe to 2√2 i -2√2

 czyli x∈<-2√2;2√2>, ale uwzgledniajac przedzial mamy 

     x∈<-2√2;0)

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2)   jezeli x∈<0;1), to   -x²+x-(-x+5)≤3

                                       -x²+x +x-5-3≤0

                                      -x²+2x-8≤0

                                     Δ=4-4·(-1)·(-8)=4-32=-28

                                   nie ma miejsc zerowych

  ramiona skierowane sa do dolu, wykres lezy ponizej osi X

                     CZYLI x∈R, ale uwzgledniajac przedzial mamy

                                     x∈<0;1) 

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3)  jezeli x∈<1;5), to  x²-x-(-x+5)≤3

                                     x²-x+x-5-3≤0

                                     x²-8≤0

      taki sam przypadek, jak 1), czyli x∈ <-2√2;2√2>, ale uwzgledniajac przedzial   mamy  x∈<1;2√2>

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4) jezeli x∈<5;∞), to      x²-x-(x-5)≤3

                                      x²-x-x+5-3≤0

                                         x²-2x+2≤0

                                        Δ=4-4·2=-4

                                    nie ma miejsc zerowych 

                               wykres lezy nad osia X

   CZYLI              x∈zbioru pustego

 

biorac pod uwage 1) 2) 3) mamy sume przedzialow

                 x∈<-2√2;2√2>

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