Question

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość a i tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze /alpha/. Jaką objętość ma ten ostrosłup?

Answer 1

A - krawędź boczna ostrosłupa
α - kat między krawędzia boczną a oraz krawedzią podstawy
b - krawędź podstawy
V = ?
V = 1/3*Pp *H

1. hś ( wysokość ściany bocznej)
hś : a = sin α
hś = a* sin α

2. krawędź podstawy b
(1/2b) : a = cos α
1/2b = a* cos α
b = 2a* cosα
3. H wysokość ostrosłupa
z trójkata prostokatnego dzie:
H - przyprostokatna
2/3hp - przyprostokatna
a - przeciwprostokatna

H² + (2/3hp)³ = a²
H² + (2/3*1/2*b*√3)² = a²
H² + (1/3b√3)² = a²
H² + 1/9b²*3 = a²
H² + 1/3b² = a²
H² = a² - 1/3b²
H² = a² - 1/3*(2a*cos α)²
H² = a² - 1/3*4a² *cos²α
H² = a² - 4/3a²* cos²α
H² = a²( 1 - 4/3*cos²α)
H = √(a²)*√(1- 4/3*cos²α)
H = a*√(1- 4/3*cos²α)

4.pole podstawy
Pp = 1/2*b*hp
Pp = 1/2*b* 1/2*b√3
Pp = 1/4*b² *√3
Pp = 1/4*(2a* cosα)² *√3
Pp = 1/4*4a²*cos²α*√3
Pp = a²*cos²α*√3

5.Objętość ostrosłupa
V = 1/3*Pp *H
V = 1/3*a²*cos²α*√3 *a*√(1- 4/3*cos²α)
V = 1/3a³*cos²α*√3 *√(1- 4/3*cos²α)