Question

Istnieje tylko jeden trójkąt o takiej własności, że długości jego boków i jednej z wysokości są czterema kolejnymi liczbami naturalnymi. Jakie są długości boków tego trójkąta?

Answer 1

Długości boków trójkąta ABC i jednej z wysokości CD są czterema kolejnymi liczbami naturalnymi:

Przyjmujemy, że bok AB ma długość n, wtedy wysokość h (długość odcinka CD) opuszczona na ten bok musi mieć długość n - 2.
------------------------
Wynika to z tw. "W dowolnym trójkącie naprzeciw największego kąta leży najdłuższy" - patrz załącznik:
ΔBDC - trójkąt prostokątny, zatem bok BC to najdłuższy bok
Jeśli |BC| = n - 1, to |CD| = h = n -2
------------------------
Wysokość h dzieli bok AB na dwa odcinki AD i BD,więc oznaczamy:
|AD| = x i |BD| = y

Zatem do obliczeń przyjmujemy (patrz załącznik):
|AB| = n
|BC| = n - 1
|AC| = n + 1
|CD| = h = n - 2
oraz
|AB| = |AD| + |BD|
n = x + y

Z ΔADC i ΔBDC otrzymujemy:

Stąd:


oraz


Zatem:


Stąd:


Zatem:


Z ΔBDC mamy:




Zatem:


Stąd:
|AB| = n = 14
|BC| = n - 1 = 14 - 1 = 13
|AC| = n + 1 = 14 + 1 = 15
|CD| = h = n - 2 = 14 - 2 = 12

Odp. Boki szukanego trójkąta mają długość: 15, 14 i 13, a jedna z wysokości ma długość 12.