Question

Indicar el quinto termino de una progresion geometrica de 7 terminos, si la suma de los tres primeros es 26 y la suma de los tres ultimos 2106
opciones:
a) 42 b) 216 c) 152 d) 162 e)144

Answer 1

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El quinto término de una progresión geométrica de 7 términos, sabiendo que la suma de los tres primeros términos es 26, y la suma de los tres últimos es 2016, es 162, opción d.

* La fórmula de suma de términos en una progresión geométrica es:

Sn = (an×r – a1)/(r – 1)

* La fórmula del término general es:

an = a1 × rⁿ⁻¹

• Suma de los tres primeros términos: 26

26 = (a3×r – a1)/(r – 1)

Sustituimos a3 por el término general:

26 = ((a1 × r²) × r – a1)/(r – 1)

26 = ((a1 × r³ – a1)/(r – 1)

26 = a1(r³– 1)/(r – 1)   Ecuación 1

• Suma de los tres últimos términos: 2106

26 = (a7×r – a5)/(r – 1)

Sustituimos a7 y a5 por el término general:

26 = ((a1 × r⁶) × r – (a1 × r⁴)/(r – 1)

26 = ((a1 × r⁷ – a1 × r⁴)/(r – 1)

26 = a1(r⁷– r⁴)/(r – 1)   Ecuación 2

• Cálculo de r (dividiendo la ecuación 2 por la ecuación 1)

2106/26 = a1(r⁷– r⁴)/(r – 1)/a1(r³– 1)/(r – 1)

81 = (r⁷– r⁴)/(r³– 1)

81 = r⁴(r³– 1)/(r³– 1)

81 = r⁴

r = 3

• Cálculo del primer término

Sustituimos este valor en la ecuación 1 para calcular el primer término.

26 = a1(3³– 1)/(3 – 1)

26 = a1(27 – 1)/2

26 × 2 = a1(26)

52/26 = a1

a1 = 2

• Cálculo del quinto término

a5 = a1 × r⁴

a5 = 2 × 3⁴

a5 = 2 × 8

a5 = 162

La progresión geométrica es: 2; 6; 18; 54; 162; 486: 1458